Материалы

Здесь буду выкладывать материалы по курсу

Презентация про инструменты для статистического анализа, листинг

Лабораторные работы

Задачи с практик

Занятие 1

Будем считать, что \(X_1\), \(\dots\), \(X_n\) – независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения \(F\) (данную модель будем называть простейшей выборкой, а \(F\) – теоретической функцией распределения), если не сказано иное.

Кроме того, нам понадобится следующая нотация:

\(\overline{g(X)} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^ng(X_i)\),

где \(g(.)\) – некоторая функция.

Отсортированный по возрастанию массив \(X_1\), \(\dots\), \(X_n\) будем обозначать как \(X_{(1)}\), \(\dots\), \(X_{(n)}\), то есть \(X_{(1)} \leq \ldots \leq X_{(n)}\) (отсортированная последовательность называется вариационным рядом).

Пусть \(F_n(t) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \mathrm{1}(X_i \leqslant t)\) – эмпирическая функция распределения. Оценить \(\delta\), для которого \(\mathrm{P}(|F_n(t) - F(t)| < \delta) \geqslant \gamma\) при данном заданном \(\gamma \in (0, 1)\).
Рассмотрим \(\overline{X}\) – выборочное среднее.
- Найти приближенное распределение \(\overline{X}\) при достаточно больших \(n\) (что нужно потребовать, чтобы получился содержательный ответ?)
- При следующих предположениях на \(F\) найти распределение \(\overline{X}\):
  - нормальное распределение с математическим ожиданием \(\mu\) и дисперсией \(\sigma^2\)
  - пуассоновский закон с параметром \(\lambda\)
  - экспоненциальный закон с параметром \(\lambda\)
  - распределение Коши
  - равномерное распределение на \([-1, 1]\) (вспомните, с помощью каких менее очевидных объектов можно задавать вероятностное распределение)
Рассмотрим \(S_*^2 = \overline{(X - \overline{X})^2}\) – выборочную дисперсию. Найти \(\mathrm{E}\ S_*^2\) и \(\mathrm{Var}\ S_*^2\).
Упражнение на вариационный ряд:
- Найти функцию распределения для \(X_{(n)}\)
- То же самое для \(X_{(1)}\)
- Аналогично для \(X_{(k)}\)
- Предположим, что существует теоретическая плотность \(p\). Найти плотность для \(X_{(k)}\) (ответ предыдущего пункта записать через regularized incomplete beta function)
- Найти совместную плотность для \((X_{(1)}, \dots, X_{(n)})\)
- Найти совместную плотность для \((X_{(l)}, X_{(s)})\), \(1 \leq l < s \leq n\)

Занятие 2

Во всех задачах требуется найти оценку методом моментов, вычислить смещение, дисперсию и MSE (или хотя бы написать формулу, по которым это считается). Какими свойствами обладают найденные оценки?

Shifted exponential
\(\Gamma\) (one parameter is unknown, both are unknown)
Биномиальное
Распределение Коши \(\mathrm{Cauchy}(x_0, 1)\)
Распределение Парето \(\mathrm{Pareto}(x_0, \beta)\)

Занятие 3

Во всех задачах требуется найти оценку методом максимального правдоподобия, вычислить смещение, дисперсию и MSE (или хотя бы написать формулу, по которым это считается). Какими свойствами обладают найденные оценки?

Пуассон
Геометрическое
Равномерное на \([\theta_1, \theta_2]\)
Laplace (loc is unknown, scale is given)
Shifted exponential
Распределение Коши

Занятие 4

Для регулярных моделей из предыдущих упражнений посчитать информацию Фишера

Занятие 6

Как с помощью минимума и максимума (первая и \(n\)-ая порядковые статистики) можно построить точный доверительный интервал для равномерного закона на \([0, theta]\)?
Построить асимптотический доверительный интервал для второго момента
Для выборки из экспоненциального распределения (использовать стандартную для нас параметризацию) с помощью асимптотически нормальных оценок (почему и откуда они взялись? \(1 / \overline{X}\) и \(\sqrt{2 / \overline{X^2}}\). Какой доверительный интервал лучше (и что можно понимать под качеством)?

Занятие 8

Монетка подброшена 4096 раз, причем орел выпал 2000 раз. Сформулировать нулевую и возможные альтернативные гипотезы. Провести тест.
Известно, что по всей сети среднее время между входом покупателя в магазин и оплатой товара равно 19 минутам, стандартное отклонение равно 5.5 минутам. По данным, полученным по 25 случайным покупателям данного магазина, среднее время оказалось равным 24 минутам, стандартное отклонение – 7 минутам.
- На уровне значимости 1 процент проверить гипотезу о том, что стандартное отклонение времени, потраченного на покупки в данном магазине, больше чем во всей сети (при предположении, что время, проведенное в магазине, согласуется с нормальным законом).
- Посчитать p-value
По выборке из 9 мужчин найдены средний чек и стандартное отклонение, оказавшиеся равными 1000 и 250 рублей. По выборке из 7 женщин соответствующие параметры оказались равны 1500 и 300.
- Равны ли дисперсии (провести тест, предполагая независимость и нормальность)
- Равны ли средние чеки мужчин и женщин (провести тест, предполагая независимость, нормальность и равенство дисперсий)?
Пять покупателей до получения скидочной карты совершили 7, 8, 3, 5, 4 покупок соответственно, после – 8, 10, 4, 3, 6. Верно ли, что покупатели стали чаще ходить в магазин (проверить с помощью теста, нормальность и независимость предполагается)
В десятичной записи числа \(\pi\) среди первых 10002 знаков цифры \(0,\dots, 9\) встречаются 968, 1026, 1021, 974, 1014, 1046, 1021, 970, 948, 1014 раз соответственно. Можно ли эти цифры считать случайными?
Среди 2020 семей, имеющих двух детей, 527 семей с двумя мальчиками, 476 семей с двумя девочками и 1017 семей с разнополыми детьми. Можно ли считать, что количество мальчиков – случайная величина, распределенная по биномиальному закону.

Занятие 9

Есть два потока абитуриентов по 300 человек в каждом. В первом потоке за вступительный экзамен 2, 3, 4, 5 получили 33, 43, 80 и 144 человека соответственно, во втором – 39, 35, 72, 154. Можно ли считать потоки однородными?
В предыдущей задаче сгруппировать данные по успешно сдавшим экзамен (оценка больше 2) и завалившим. Можно ли считать первый поток более сильным?
246 человек привились и не заболели х., трое привились и заболели, 473 не привились и не заболели, 69 не привились и заболели. Можно ли считать, что наличие/отсутствие вакцины и наличие/отсутствие болезни х. связаны?
Тот же датасет. Можно ли считать, что наличие вакцины позволяет не заболеть?