Материалы

Здесь буду выкладывать материалы по курсу

Условия РГР

Вопросы к защитам РГР

Этот список можете воспринимать как теоретический минимум

  • Первая:
    • Модель простейшей выборки
    • Эмпирическая функция распределения и ее свойства
    • Выборочное среднее и его свойства
    • Выборочная дисперсия (смещенная/несмещенная) и её свойства
    • Выборочные квантили, в том числе медиана, верхний и нижний квартили, межквартильный размах
    • Постановка задачи точечного оценивания параметров. Состоятельность, несмещенность, асимптотическая нормальность оценок
    • Эффективность. Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера
    • Метод моментов
    • Метод максимального правдоподобия
  • Вторая:
    • Устойчивость относительно суммирования независимых гауссовских величин
    • Распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера
    • Теорема Фишера
    • Доверительные интервалы для параметров нормального закона
    • ЦПТ, асимптотический доверительный интервал для мат. ожидания
  • Третья:
    • Постановка задачи проверки статистической гипотезы. Нулевая и альтернативная гипотезы.
    • Статистика критерия. Общая схема работы стат. теста. Области принятия и опровержения (критическая) нулевой гипотезы.
    • Ошибки I и II рода.
    • Примеры критериев (нужно сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы, статистикку критерия, тип критической области):
      • Критерий согласия Пирсона хи-квадрат
      • Критерий однородности хи-квадрат
      • Критерий независимости хи-квадрат
      • Тест на коэффициент корреляции Пирсона
      • Критерии Стьюдента для одной и двух выборок
      • Критерий Фишера
      • Z-критерий для одной и двух выборок
  • Четвертая:
    • Описание модели линейной регрессии. Минимальные и обычные предположения на вектор ошибок
    • Метод наименьших квадратов. Свойства оценки метода наименьших квадратов при минимальных (теорема Гаусса-Маркова) и обычных предположениях
    • Основная теорема о регрессии
    • t-критерий
    • F-критерий
    • Однофакторный дисперсионный анализ. Что проверяет? Межгрупповая и внутригрупповая дисперсии

Задачи с практик

Занятия № 1-2

Будем считать, что \(X_1\), \(\dots\), \(X_n\) – независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения \(F\) (данную модель будем называть простейшей выборкой, а \(F\) – теоретической функцией распределения), если не сказано иное.

Кроме того, нам понадобится следующая нотация:

\(\overline{g(X)} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^ng(X_i)\),

где \(g(.)\) – некоторая функция.

Отсортированный по возрастанию массив \(X_1\), \(\dots\), \(X_n\) будем обозначать как \(X_{(1)}\), \(\dots\), \(X_{(n)}\), то есть \(X_{(1)} \leq \ldots \leq X_{(n)}\) (отсортированная последовательность называется вариационным рядом).

  1. Пусть \(F_n(t) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \mathrm{1}(X_i \leqslant t)\) – эмпирическая функция распределения. Оценить \(\delta\), для которого \(\mathrm{P}(|F_n(t) - F(t)| < \delta) \geqslant \gamma\) при данном заданном \(\gamma \in (0, 1)\).

  2. Рассмотрим \(\overline{X}\) – выборочное среднее.
    • Найти приближенное распределение \(\overline{X}\) при достаточно больших \(n\) (что нужно потребовать, чтобы получился содержательный ответ?)
    • При следующих предположениях на \(F\) найти распределение \(\overline{X}\):
      • нормальное распределение с математическим ожиданием \(\mu\) и дисперсией \(\sigma^2\)
      • пуассоновский закон с параметром \(\lambda\)
      • экспоненциальный закон с параметром \(\lambda\)
      • распределение Коши
      • равномерное распределение на \([-1, 1]\) (вспомните, с помощью каких менее очевидных объектов можно задавать вероятностное распределение)
  3. Рассмотрим \(S_*^2 = \overline{(X - \overline{X})^2}\) – выборочную дисперсию. Найти \(\mathrm{E}\ S_*^2\) и \(\mathrm{Var}\ S_*^2\).
  4. Упражнение на вариационный ряд:
    • Найти функцию распределения для \(X_{(n)}\)
    • То же самое для \(X_{(1)}\)
    • Аналогично для \(X_{(k)}\)
    • Предположим, что существует теоретическая плотность \(p\). Найти плотность для \(X_{(k)}\) (ответ предыдущего пункта записать через regularized incomplete beta function)
    • Найти совместную плотность для \((X_{(1)}, \dots, X_{(n)})\)
    • Найти совместную плотность для \((X_{(l)}, X_{(s)})\), $$1 \leq l < s \leq n

Занятия № 3-4

Во всех упражнениях требуется найти оценку параметров указанным методом, вычислить теоретические смещение, дисперсию и MSE (или хотя бы написать формулу, по которым они считаются)

Метод моментов:

  1. Нормальное распределение \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)
    • \(\sigma^2\) известно
    • \(\mu\) известно
    • оба неизвестны
  2. Бернулли
  3. Пуассон
  4. Равномерное распределение на \([a, b]\)
  5. Сдвинутое экспоненциальное распределение
  6. Распределение Парето
  7. Распределение Коши

Метод максимального правдоподобия:

    1. Нормальное распределение \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)
      • \(\sigma^2\) известно
      • \(\mu\) известно
      • оба неизвестны
  2. Бернулли
  3. Пуассон
  4. Равномерное распределение на \([a, b]\)
  5. Сдвинутое экспоненциальное распределение
  6. Распределение Лапласа (фиксированный масштабирующий параметр)
  7. Распределение Парето

Занятия № 5-6

  1. Описать и обосновать схему построения доверительных интервалов для параметров нормального закона
  2. То же самое для математического ожидания произвольного закона
  3. Звездочка. А что с дисперсией?
  4. Звездочка. А медиана?

Занятия № 7-8

  1. Сформулируйте нулевую и альтернативные гипотезы для следующих задач:
    • Робот бросает монетку и вы подозреваете, что он жульничает
    • Тот же робот, только вам кажется, что робот кидает монетку таким образом, чтобы выпал орел
    • Фармацевты тестируют лекарство
    • Химики тестируют яд для насекомых вредителей
    • Исследование связи цены на недвижимость и расстояния до центра города
    • Замер того или иного показателя (к примеру, вы замеряете параметры листа A4 и хотите понять, удовлетворяет ли стандарту лист или нет)
    • Связь букв “М”/”Ж” в паспорте и успеваемости в университете
  2. Пусть имеется выборка \(X_1, \ldots, X_n\). Опишите критерий для проверки гипотезы о равенстве среднего значения конкретной константы против двусторонней/правосторонней/левосторонней альтернативы, если распределение
    • нормальное с известной дисперсией
    • нормальное с неизвестной дисперсией
    • произвольное (объем выборки достаточно большой)
  3. Пусть имеются парная выборка, то есть набор \((X_1, Y_1), \ldots, (X_n, Y_n)\). Считая распределения \(X\) и \(Y\) независимыми, предложите критерий для проверки гипотезы о равенстве мат. ожиданий двух выборок против двусторонней/правосторонней/левосторонней альтернативы.

Занятия № 9-10

  1. Монетка подброшена 4096 раз, причем орел выпал 2000 раз. Сформулировать нулевую и возможные альтернативные гипотезы. Провести тест.
  2. Известно, что по всей сети среднее время между входом покупателя в магазин и оплатой товара равно 19 минутам, стандартное отклонение равно 5.5 минутам. По данным, полученным по 25 случайным покупателям данного магазина, среднее время оказалось равным 24 минутам, стандартное отклонение – 7 минутам.
    • На уровне значимости 1 процент проверить гипотезу о том, что стандартное отклонение времени, потраченного на покупки в данном магазине, больше чем во всей сети (при предположении, что время, проведенное в магазине, согласуется с нормальным законом).
    • Посчитать p-value
  3. По выборке из 9 мужчин найдены средний чек и стандартное отклонение, оказавшиеся равными 1000 и 250 рублей. По выборке из 7 женщин соответствующие параметры оказались равны 1500 и 300.
    • Равны ли дисперсии (провести тест, предполагая независимость и нормальность)
    • Равны ли средние чеки мужчин и женщин (провести тест, предполагая независимость, нормальность и равенство дисперсий)?
  4. Пять покупателей до получения скидочной карты совершили 7, 8, 3, 5, 4 покупок соответственно, после – 8, 10, 4, 3, 6. Верно ли, что покупатели стали чаще ходить в магазин (проверить с помощью теста, нормальность и независимость предполагается)
  5. В десятичной записи числа \(\pi\) среди первых 10002 знаков цифры \(0,\dots, 9\) встречаются 968, 1026, 1021, 974, 1014, 1046, 1021, 970, 948, 1014 раз соответственно. Можно ли эти цифры считать случайными?
  6. Среди 2020 семей, имеющих двух детей, 527 семей с двумя мальчиками, 476 семей с двумя девочками и 1017 семей с разнополыми детьми. Можно ли считать, что количество мальчиков – случайная величина, распределенная по биномиальному закону.
  7. Есть два потока абитуриентов по 300 человек в каждом. В первом потоке за вступительный экзамен 2, 3, 4, 5 получили 33, 43, 80 и 144 человека соответственно, во втором – 39, 35, 72, 154. Можно ли считать потоки однородными?
  8. 246 человек привились и не заболели х., трое привились и заболели, 473 не привились и не заболели, 69 не привились и заболели. Можно ли считать, что наличие вакцины позволяет не заболеть?