Материалы

Здесь буду выкладывать материалы по курсу

Таблица значений функции распределения стандартного нормального закона

Расчётно-графические работы

Задачи с практик

Занятие №1 (02.09)

Колода из 36 карт хорошо перемешали (т.е ве возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:
- четыре туза расположены рядом,
- места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7.
На полке в случайном порядке расставлены 40 книг, среди которых находится трехтомник А.С. Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).
Из множества всех последовательностей длины $n$, состоящих из цифр 0,1,2, случайно выбирается одна. Найти вероятности событий:
- последовательность начинается с 0,
- последовательность содержит ровно $m+2$ нуля, причем 2 из них находятся на концах последовательности,
- последовательность содержит ровно $m$ единиц,
- в последовательности ровно $m_0$ нулей, $m_1$ единиц, $m_2$ двоек.
Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в большом городе
- состоит 4 разных цифр;
- имеет только одинаковые цифры;
- имеет две пары одинаковых цифр;
- имеет только три одинаковые цифры?
Случайно брошены 10 игральных костей. Найти вероятности:
- не выпало ни одной “6”;
- выпали ровно три “6”;
- выпала хотя бы одна “6”;
- выпали хотя бы две “6”.

Занятие №2 (09.09)

В генуэзской лотерее разыгрываются девяносто номеров, из которых выигрывают пять. По условию можно ставить на любой из девяноста номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров, причем для получения выигрыша должны выиграть все выбранные номера. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев?
Имеются $z+m$ билетов, из которых $n$ выигрышных. Одновременно приобретаются $k$ билетов. Определить вероятность того, что среди них $s$ выигрышных.
Из колоды карт (52 штуки) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз:
- независимо от порядка извлечения карт без возвращения;
- в указанном порядке при извлечении карт без возвращения;
- в указанном порядке с возвращением каждой карты в колоду.
Параллельно оси абсцисс проведены две линии, ординаты которых равны 8 и 9.5. Определить вероятность того, что круг радиуса 2.5 не будет пересечен осью абсцисс и ни одной из двух параллельных линий, если положение центра круга равновозможно на оси ординат в интервале от 0 до 9.5.
Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго – два часа.

Занятие №3 (16.09)

Среди 25 экзаменационных билетов 5 “хороших”. Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что:
- первый студент взял “хороший” билет;
- второй студент взял “хороший” билет;
- оба студента взяли “хорошие” билеты;
- решить задачу для произвольных количества экзаменационных билетов $n$, количества “хороших” билетов $m$ и $j$-го студента.
Найти вероятность отсутствия тока в данной цепи, если элементы ломаются независимо с вероятностями $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$, $p_5$.
Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар, то объявляется ничья. Найти вероятности победы первого и второго игроков, ничьи.

Занятие №4 (23.09)

Урна содержит один шар, про который известно, что он либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что оставшийся в урне шар - белый?
Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью $p$. При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью $\alpha$; кроме того, с вероятностью $\beta$ исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность $q_0$ того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность $q_1$ того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях $q_0>q_1$?
Василий хочет переслать сообщение Василисе, содержащее символы “-“, “+”, “|”. Во время передачи символ может исказиться, и на выходе получится один из двух других символов с вероятностью $(1 - \alpha)/2$, а с вероятностью $\alpha$ исходный символ не искажается. Для повышения надежности каждый из символов исходного сообщения посылается в четырёх экземплярах. С какой вероятностью Василий хотел отправить “+”, если Василиса увидела последовательность “+-|+”?
Некоторым студентам младших курсов (I и II) нравится ходить на встречи любителей настольных игр. Доля первокурсников среди них составляет 0.7, второкурсников – 0.3. Доля девушек среди первокурсников равняется 0.6, у второкурсников – 0.4. На одной из встреч клуба потерян студенческий билет, принадлежащий девушке. С какой вероятностью обладательница потерянного билета учится на I курсе?
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:
- не будет искажено;
- содержит ровно 3 искажения;
- содержит не более трех искажений?

Занятие №5 (30.09)

По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0.005. Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.
В таблице случайных чисел цифры сгруппированы по две. Найти приближенное значение вероятности того, что среди 100 пар набор 09 встретится не менее двух раз.
Найти приближенное значение вероятности того, что число “девяток” среди 10000 случайных цифр заключено между 940 и 1060.

Занятие №6 (07.10)

Случайная точка $(\xi_1, \xi_2)$ имеет равномерное распределение в квадрате $\{(\xi_1, \xi_2): 0 \leqslant \xi_1, \xi_2 \leqslant 1\}$ При каких значениях $r$ независимы события $A_r=\{|\xi_1-\xi_2|\geqslant r\}$ и $B_r=\{|\xi_1+\xi_2|\leqslant 3r\}$?

Занятие №8 (21.10)

Игральный кубик случайно подбрасывается два раза. Найти ряд распределения для суммы выпавших очков, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
На сервер пришло $Y$ запросов, причем $Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$, причем каждый из запросов независимо от остальных и общего количества запросов с вероятностью $p$ приходит из города М. Найти распределение суммарного количества запросов из города М. Подсказка: применить формулу полной вероятности
Случайная величина $X$ имеет геометрическое распределение с параметром $p$. Найти вероятность $X \geqslant m + n$, если априори известно, что $X \geqslant m$.
Задача с карликовой звездочкой. Случайная величина $X$ принимает целые неотрицательные значения и известно, что $\mathrm{P}(X \geqslant m + n| X \geqslant n) = \mathrm{P}(X \geqslant m)$ для любых целых неотрицательных $m, n$. К какому семейству распределений принадлежит $X$?
Найти предельное распределение для $\mathrm{HG}(n, m, k)$ при $n, m \to \infty$, причем $m/n \to p$ (здесь имеется ввиду, что нужно найти предел вероятностей $\mathrm{P}(X = j)$ для $X \sim \mathrm{HG}(n, m, k)$).
Пусть $A$ – некоторое событие, $X$ – дискретная случайная величина. Определим математическое ожидание $X$ при условии $A$ как $\mathrm{E}(X|A) = \sum_{k}x_k\mathrm{P}(X = x_k|A).$ Пусть $(A_j)$ – полная группа несовместных событий. Доказать справедливость формулы полного математического ожидания (аналог формулы полной вероятности): $\mathrm{E}(X) = \sum_j\mathrm{E}(X|A_j)\mathrm{P}(A_j).$
Пусть $Y = f(X)$, где $X$ – дискретная случайная величина, $f$ непрерывная функция (на самом деле достаточно измеримости относительно системы множеств $\{x_k\}$, то есть $f^{-1}(B) \in \sigma\{x_k\}, B \in \mathcal{B}$). Показать, что $Y$ – дискретная случайная величина, описать функцию вероятностей для $Y$, показать, что $\mathrm{E}Y = \sum_k f(x_k)p_k$, то есть для вычисления математического ожидания случайной величины $Y$ необязательно вычислять распределение случайной величины $Y$.

Занятие №9 (28.10)

Пусть $p(x) = \frac{c}{x^5}\mathrm{I}(x \geqslant 1)$ – плотность случайной величины $X$, где $c > 0$ – нормирующая константа. Найти данную константу, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
Пусть $F(x) = c\cdot\mathrm{arctg}(x - b) + d$ – функция распределения случайной величины, где $c > 0$ и $b, d \in \mathbb{R}$. Найти $c, d$, плотность, моду и медиану. А что с математическим ожиданием?
Электрички с Витебского вокзала в среднем ходят каждые 15 минут. Предполагая, что студент приходит на перрон в случайный момент времени, найти вероятность того, что он будет ждать отправления поезда больше 5 минут. Найти математическое ожидание, медиану и дисперсию данной случайной величины.
Время работы безотказного прибора распределено по показательному закону с плотностью $p(t) = 0.02e^{-0.02t}I(t \geqslant 0)$ (функция $I(A)$ возвращает единицу, если условие $A$ истина и ноль в противном случае). Найти вероятность безотказной работы в течение 100 часов. Математическое ожидание, дисперсию, ско, моду и медиану данной случайной величины. Найти вероятность безотказной работы в течение 200 часов, если прибор безотказно работал в течение 100 часов.
Автомат штампует детали. Контролируемая длина летали $X$, которая распределена с математическим ожиданием, равным 50 мм. Фактически длина деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятности того, что длина наудачу взятой детали
- больше 55 мм
- мменьше 40 мм
Считая, что балл за тест распределен нормально и фактические результаты лежат в диапазоне от 88 до 124, найти вероятность того, что оценка за тест у случайного человека будет больше 100.
Задача с небольшой звездочкой. Распределение случайной величины $X$ абсолютно непрерывно, $X$ принимает неотрицательные значений и обладает свойством отсутствия памяти. Показать, что распределение случайной величины является экспоненциальным.

Занятие №10 (11.11)

Случайная величина $X$ имеет равномерное распределение на множестве $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$, $Y = X^2$. Найти функцию вероятностей случайной величины $Y$ и её числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию вычислить двумя способами).
Пусть $X \sim \mathrm{Pois}(5)$. Найти $\mathrm{M}\bigl(X(X - 1)(X - 2)\bigr)$
Случайная величина $X$ распределена равномерно на $[0, \pi]$. Найти
- плотность распределения случайной величины $Y = \tfrac{2X}{\pi} - 1$
- моменты $\mathrm{M}\sin X$, $\mathrm{M}\cos X$
- плотность случайной величины $U = -\ln \tfrac{X}{\pi}$
Случайная величина $X$ распределена нормально с математическим ожиданием 10 и дисперсией 4. Найти:
- плотность случайной величины $Y = \tfrac{X - 10}{2}$
- плотность случайной величины $U = 2X + 1$
Случайная величина $X$ имеет стандартное экспоненциальное распределение, то есть $F(t) = (1 - e^{-t})I(t \geqslant 0)$ – её функция распределения. Найти плотность случайной величины $Y = F(X)$.

Занятие №11 (20.11)

Совместное распределение случайных величин $X, Y$ задается таблицей:

X\Y	0	1	3
0	0.15	0.05	0.3
-1	0	0.15	0.1
-2	0.15	0	0.1

Найти:
- одномерные распределения случайных величин $X$ и $Y$
- их математическое ожидание и дисперсию
- ковариацию и коэффициент корреляции
- условные вероятности $\mathrm{P}(X = x_i\vert Y = y_j)$ и $\mathrm{P}(Y = y_j\vert X = x_i)$
- условные математические ожидания $\mathrm{E}(X\vert Y = y_j)$ и $\mathrm{E}(Y\vert X = x_i)$
- $\mathrm{Cov}(X + 2Y, 2X - Y)$, $\mathrm{M}(2X + 3Y)$, $\mathrm{D}(X + 3Y)$
- Совместное распределение $X + Y$, $X\cdot Y$
Дискретные целочисленные случайные величины $X$, $Y$ независимы. Найти $\mathrm{P}(X + Y = k)$. В частности, решить задачу, если
- $X \sim \mathrm{Bern}(p)$, $Y \sim \mathrm{Bern}(p)$
- $X \sim \mathrm{Bin}(n - 1, p)$, $Y \sim \mathrm{Bern}(p)$
- $X \sim \mathrm{Geom}(p)$, $Y \sim \mathrm{Geom}(p)$
- $X \sim \mathrm{NB}(r - 1, p)$, $Y \sim \mathrm{Geom}(p)$

Занятие №12 (25.11)

Совместная плотность случайных величин $X, Y$ задается как $p(x, y) = c\cdot x\cdot y \cdot I(0 \leqslant x,y \leqslant 1)$. Найти $c$, $\mathrm{Cov}(2X + 3Y, X + Y)$. Найти одномерные (маргинальные) плотности $p_X$, $p_Y$ одномерных величин $X$, $Y$. Являются ли $X, Y$ независимыми?
Случайный вектор $(X, Y)$ равномерно распределен на $x^2 + y^2 \leqslant 1$. Найти совместное распределение полярного радиуса и угла. Являются ли они независимым? Найти $\mathrm{M}(X + 2Y)$, $\mathrm{Cov}(3X - 4Y, X + Y)$
К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли кабины №1 и №2 соответственно, а третий остался ждать. Предполагая, что времена $\tau_1$, $\tau_2$, $\tau_3$ разговоров клиентов независимы и одинаково распределены с экспоненциальным законом с параметром $\lambda$, найти вероятности следующих событий:
- третий клиент попадет в кабину №1
- плотность времени ожидания третьего клиента
- третий клиент закончит разговор раньше первого или второго.

Занятие №13 (02.12)

Пусть случайные величины $X_1$, \dots, $X_{1000}$ независимы и равномерно распределены на $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ и $S_{1000} = X_1 + \ldots + X_{1000}$
- С помощью неравенства Чебышёва оценить $\mathrm{P}(S_{1000} \in [-100; 100])$
- Ту же вероятность приближенно найти с помощью центральной предельной теоремы (далее – ЦПТ)
- С помощью неравенства Чебышёва оценить $\mathrm{P}(S_{1000}/100 \in [-2; 0.5])$
- Ту же вероятность приближенно найти с помощью ЦПТ
- С помощью неравенства Чебышёва найти наименьшее положительное $M$, при котором $\mathrm{P}(S_{1000} \leqslant M) \geqslant 0.9$
- То же самое сделать с помощью ЦПТ
Доказать закон больших чисел:
- в форме Чебышёва
- для независимых одинаково распределенных случайных величин
Складываются $10^4$ чисел, округленных с точностью до $10^{-m}$. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале $[-0,5 \cdot 10^{-m}, 0,5\cdot 10^{-m}]$, найти пределы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
Случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены: $\mathrm{P}(\xi_i=1,25)=\mathrm{P}(\xi_i=0,75)=\frac{1}{2}, i \in \mathbb{N}$, и $\eta_n=\xi_1 \cdot \ldots \cdot \xi_n$ Найти приближенно вероятности: $\mathrm{P}(\eta_{1000} \leqslant 10^{-20})$, $\mathrm{P}(\eta_{1000}<1,25^{501} \cdot 0,75^{499})$

Занятие №14 (09.12)

Пусть $f = \mathrm{E}e^{itX}$, $t \in \mathbb{R}$ – характеристическая функция случайной величины $X$. Выразить через $f$ характеристические фукнции следующих случайных величин:
- аффинное преобразование $Y = aX + b$, в частности, рассмотреть случай $Y = -X$
- характеристическую функцию для $X_1 + X_2$, где $X_1$, $X_2$ – независимые копии $X$
Найти характеристическую функцию для:
- равномерного закона
- биномиального
- экспоненциального
- пуассоновского
- нормального, подсказка: сначала рассмотреть случай для стандартной гауссовской величины, продифференцировать хар. функцию, потом получившееся выражение проинтегрировать по частям
Пусть $f$ дифференцируема в нуле нужное количество раз. Выразить $\mathrm{E}X^k$ через $f^{(k)}(0)$
Пусть распределение случайной величины симметрично, показать что $f$ является вещественнозначной.
- Показать обратное. Подсказка: воспользоваться биективностью между хар. функциями и распределениями
Случайная величина $X$ принимает целочисленные значения. Показать, что хар. функция является $2\pi$-периодической.
- Убедиться в обратном
- Небольшая звездочка: через хар. функцию выразить $\mathrm{P}(X = k)$
Убедиться, что выпуклая комбинация хар. функций является тоже хар. функцией некоторой случайной величины.
Пусть $Y_\lambda = (X_\lambda - \lambda)/\sqrt{\lambda}$, где $X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$, $f_\lambda$ – характеристическая функция для $Y_\lambda$. Найти предел $f_\lambda$ при $\lambda \to \infty$. Из полученного результата в силу упомянутой выше биективности и теоремы Леви о сходимости хар. функций следует, что мы можем явно указать предельное распределение $Y_\lambda$
Доказать:
- ЗБЧ без предположения о существования дисперсии (в форме Хинчина)
- ЦПТ

Домашние задания

Домашнее задание №1

Из карточек разрезной азбуки составлено слово “СТАТИСТИКА”. Затем из этих 10 карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово “ТАКСИ”.
Из 30 чисел $(1, 2 ,\dots, 29 , 30)$ случайно отбирается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:
- все числа нечетные,
- ровно 5 чисел делится на 3,
- 5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно одно число делится на 10.
В урне $R$ красных, $W$ белых и $B$ черных шаров. Из урны с возвращением (без возвращения) извлекаются $n$ шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет $r$ красных, $w$ белых и $b$ черных шаров.
Задача со звёздочкой. Некоторые горожане считают трамвайный, троллейбусный или автобусный билет “счастливым”, если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить “счастливый” билет.

Домашнее задание №2

В круге радиуса $R$ случайно проводится хорда. Обозначим $\xi$ ее длину. Найти вероятность $Q_x = \mathrm{Р}\{\xi> x\}$, если середина хорды равномерно распределена в круге.
Решить предыдущую задачу, если направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном ее направлению.
Решить предыдущую задачу, если один конец хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности.
К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии $A$ и через каждые шесть минут – автобус линии $B$. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии $A$ и ближайшего следующего автобуса линии $B$ равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что:
- первый подошедший автобус окажется автобусом линии $A$;
- автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут.
Найдите вероятности событий, если $(\xi, \eta)$ – случайная точка, брошенная в единичный квадрат $[0; 1]^2$:
- Квадратное уравнение $x^2 + 2\xi x + \eta = 0$ имеет два комплексных корня с ненулевой мнимой частью.
- Квадратное уравнение имеет только положительные вещественные корни.
- Кубическое уравнение $x^3 + 3\xi x + \eta = 0$ имеет ровно $k$ вещественных корней $k \in \{0, 1,2,3\}$ (задача со звёздочкой).

Домашнее задание №3

В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0.90 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0.95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.
Имеется $n$ урн одинакового состава: $N$ белых и $M$ черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Задача со звёздочкой Что изменится в предыдущей задаче, если на каждом шаге перекладывать по $k$ шаров (в конце вытаскиваем также один шар)?

Домашнее задание №4

Найти вероятность того, что в $2n$ испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха $p$ и неудачи $q = 1 - p$ появится $m + n$ успехов и все испытания с четными номерами закончатся успехом.
В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает $k$ очков, $k \in \{0, 1, \ldots, 5\}$
При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью $p_1$, полностью ломается с вероятностью $p_2$, получает серьезное повреждение с вероятностью $p_3$, $(p_1 + p_2 + p_3 = 1)$. Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении $n$ порогов байдарка не будет полностью сломана.
В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен. Определить вероятность того, что:
- в каждый вагон вошло по два человека;
- в один вагон никто не вошел, в другой – вошел один человек, в два вагона – по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека.
Урна содержит $l$ белых, $m$ черных и $n$ красных шаров. Производится $l_1 + m_1 + n_1$ извлечений шаров по одному с возвращением каждого извлеченного шара. Определить вероятность того, что будет извлечено:
- сначала $l_1$ белых, затем $m_1$ черных и, наконец, $n_1$ красных шаров;
- $l_1$ белых, $m_1$ черных и $n_1$ красных шаров, причем все шары одного цвета появляются подряд, но последовательность цветов может быть любой;
- $l_1$ белых, $m_1$ черных и $n_1$ красных шаров в любой последовательности.

Домашнее задание №5

Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что событие “герб-герб” появится меньше 1140 раз.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Найти приближенное значение вероятности того, что при 100 выстрелах будет не больше трех попаданий.
Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных шара, по схеме случайного выбора с возвращением проводят 2500 извлечений шаров. Найти приближенное значение вероятности того, что число появлений белого шара заключено между 480 и 540.
На одной странице 2400 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти приближенное значение вероятности того, что на странице не менее двух опечаток.
Пусть $\eta_{N}$ - суммарное число появлений “5” и “6” в $N$ бросаниях игральной кости. При $N = 1800$ найти вероятность того, что $\eta_{N} \geqslant 620$
Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого. из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Рассмотреть два случая:
- зрители приходят парами;
- зрители приходят поодиночке. Предположить, что входы зрители выбирают с равными вероятностями.

Домашнее задание №6

Доработать не разобранные задачи с занятия №9.

Домашнее задание №8

Случайная величина $X$ имеет плотность $p(x) = cx^2I(x \in [-2; 1])$, $Y = X^2$. Найти функцию распределения и плотность случайной величины $Y$.

Домашнее задание №9

Комплекс, состоящий из 10 однотипных блоков,
прекращает работу при выходе из строя хотя бы одного из этих блоков, что происходит с одинаковой вероятностью для
любого из них. Вероятность прекращения работы комплекса за некоторый цикл работы равна 0.1. Новый цикл начинается после завершения предыдущего или после ремонта поврежденного блока, если предыдущий цикл не был завершен. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергавшихся
ремонту хотя бы один раз при 20 циклах. Подсказка: сначала решите задачу для комплекса из одного блока, затем сведите ее к изначальной.
Игральную кость бросают до того момента, когда впервые выпадет меньше пяти очков. Пусть $X$ – количество очков, выпавшее при последнем броске, $Y$ – количество бросков. Найти совместное распределение $X$, $Y$. Являются ли они зависимыми? Найти числовые характеристики $X$, $Y$ и коэффициент корреляции.

Домашнее задание №10

Случайные величины $X$, $Y$ независимы и имеют плотности $p_X$, $p_Y$ соответственно. Найти функцию распределения $F_{X + Y}$ и плотность $p_{X + Y}$ для суммы $X + Y$. В частности, решить эту задачу, если $X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$, $Y \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$.