О курсе

Здесь студенты практических подпотоков “ТеорВер ТиИ БИ 1.3” и “ТеорВер ТиИ БИ 2.2” могут найти информацию и материалы по курсу теории вероятностей.

Аннотация

Теория вероятностей – одна из наиболее прикладных областей фундаментальной математики, сформировавшаяся в современном виде в XX веке (аксиоматика Колмогорова).

Сначала мы рассмотрим математические основания теории вероятностей, а именно изучим определения события и вероятности, посмотрим на разные примеры и узнаем базовые свойства вероятности, в частности, имеющую фундаментальную роль в науке и технике теорему Байеса. Затем мы изучим распределения случайных величин и их различные свойства, в особенности затронем их числовые характеристики. Также мы рассмотрим фундаментальные предельные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел и центральную предельную теорему, которые играют существенную роль в приложениях теории вероятностей, в частности, в математической статистикой.

Литература

Постарался подобрать побольше источников, чтобы каждый желающий смог найти полезный для себя

“Простые и понятные”

Тут, на мой взгляд, написано относительно просто и понятно. Приводится достаточно примеров и многое очень подробно объясняется.

Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика
Вентцель. Теория вероятностей
Чернова. Теория вероятностей

“Обычные”

Тоже неплохие источники, просто некоторые более-менее тривиальные вещи не так подробно объясняются:

Бородин. Элементарный курс по теории вероятностей и математической статистике
Горлач. Теория вероятностей и математическая статистика
Электронный конспект (пре-α версия)

Для тех, кому интересно серьезно погрузиться в тему

Боровков. Теория вероятностей
Ширяев. Вероятность
Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения

Дополнительно

Ширяев. Задачи по теории вероятностей (интересные и нетривиальные задачки)

Задачники

Зубков и др. Сборник задач по ТВ и МС
Прохоров и др. Задачи по ТВ.
Свешников и др. Сборник задач по ТВ, МС и случайным функциям
Гмурман. Руководство к решению задач по ТВ и МС

Приложения

Таблица значений функции распределения стандартного нормального закона

Расчётно-графические работы

Условие обеих работ здесь

Задачи с занятий

Занятие №1 (07.09)

Колода из 36 карт хорошо перемешали (т.е ве возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:
- четыре туза расположены рядом,
- места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7.
На полке в случайном порядке расставлены 40 книг, среди которых находится трехтомник А.С. Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).
Из множества всех последовательностей длины \(n\), состоящих из цифр 0,1,2, случайно выбирается одна. Найти вероятности событий:
- последовательность начинается с 0,
- последовательность содержит ровно \(m+2\) нуля, причем 2 из них находятся на концах последовательности,
- последовательность содержит ровно \(m\) единиц,
- в последовательности ровно \(m_0\) нулей, \(m_1\) единиц, \(m_2\) двоек.
Задача о дне рождения. С какой вероятностью в группе найдутся хотя бы двое с одним и тем же дне рождения? С какой вероятностью в группе найдется человек, у которого день рождения 1 января?

Занятие №2 (14.09)

Из карточек разрезной азбуки составлено слово “СТАТИСТИКА”. Затем из этих 10 карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово “ТАКСИ”.
Из колоды карт (52 штуки) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз:
- независимо от порядка извлечения карт без возвращения;
- в указанном порядке при извлечении карт без возвращения;
- в указанном порядке с возвращением каждой карты в колоду.
Параллельно оси абсцисс проведены две линии, ординаты которых равны 8 и 9.5. Определить вероятность того, что круг радиуса 2.5 не будет пересечен осью абсцисс и ни одной из двух параллельных линий, если положение центра круга равновозможно на оси ординат в интервале от 0 до 9.5.
Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго – два часа.
Случайная точка c координатами \((\xi, \eta)\) бросается в квадрат \([-1; 1]^2\). Найти вероятности событий:
- квадратное уравнение \(x^2 + 2\xi x + \eta = 0\) имеет вещественные корни,
- то же уравнение имеет только положительные корни.
Задача об игле Бюффона. Иголка длины \(2l\) бросается на разлинованную поверхность, у которой расстояние между линиями постоянно и равняется \(d\), причем \(2l < d\). С какой вероятностью иголка после случайного броска пересечёт одну из линий?

Занятие №3 (21.09)

Брошены две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится па пять.
Среди 25 экзаменационных билетов 5 “хороших”. Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что:
- первый студент взял “хороший” билет;
- второй студент взял “хороший” билет;
- оба студента взяли “хорошие” билеты;
Найти вероятность отсутствия тока в данной цепи, если элементы ломаются независимо с вероятностями \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), \(p_4\), \(p_5\).
Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар, то объявляется ничья. Найти вероятности победы первого и второго игроков, ничьи.
Заключенных “A”, “B” и “C” получили обвинительный приговор, но он пока не приведен в исполнение. Глава случайно помиловал одного из осужденных. Заключенный “A” решил узнать у охранника имя счастливчика, но стражнику запрещено называть имя помиловано. Тогда “A” предлагает стражнику следующую схему (охраннику не запрещено говорить имена, в отношении кого приговор вступит в силу):
- Если освободят “B”, то охранник скажет заключенному “A”, что в отношении “C” приговор вступит в силу.
- Если освободят “C”, то охранник скажет про “B”
- Если освободят “A”, то охранник случайным образом скажет про “B” или “C” Охранник говорит заключенному “А”, что приговор вступит в силу в отношении “B”. С какой вероятностью освободят заключенного “A”?
При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна \(1 - \beta\). Вероятность принять здорового человека за больного равна \(\alpha\). Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна \(\gamma\).
- Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
- Найти вероятность быть здоровым, если два независимых обследования показали наличие болезни
- Вычислить найденные вероятности при следующих \(1 - \beta = 0.9, \alpha = 0.01, \gamma = 0.001\).

Занятие №4 (28.09)

Урна содержит один шар, про который известно, что он либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что оставшийся в урне шар - белый?
Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью \(p\). При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью \(\alpha\); кроме того, с вероятностью \(\beta\) исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность \(q_0\) того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность \(q_1\) того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях \(q_0>q_1\)?
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:
- не будет искажено;
- содержит ровно 3 искажения;
- содержит не более трех искажений?
Найти вероятность того, что в \(10\) испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и неудачи \(q = 1 - p\) случатся \(7\) успехов и все испытания с четными номерами закончатся успехом.
В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает \(k\) очков, \(k \in \{0, 1, \ldots, 5\}\) Подсказка: можно считать, что на самом деле есть только два исхода: победа первого игрока в партии или его поражение с вероятностью 0.5 (попробуйте показать, что исходную задачу можно свести к указанной постановке)
При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью \(p_1\), полностью ломается с вероятностью \(p_2\), получает серьезное повреждение с вероятностью \(p_3\), \((p_1 + p_2 + p_3 = 1)\). Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении \(n\) порогов байдарка не будет полностью сломана.
Урна содержит \(l\) белых, \(m\) черных и \(n\) красных шаров. Производится \(l_1 + m_1 + n_1\) извлечений шаров по одному с возвращением каждого извлеченного шара. Определить вероятность того, что будет извлечено:
- сначала \(l_1\) белых, затем \(m_1\) черных и, наконец, \(n_1\) красных шаров;
- \(l_1\) белых, \(m_1\) черных и \(n_1\) красных шаров, причем все шары одного цвета появляются подряд, но последовательность цветов может быть любой;
- \(l_1\) белых, \(m_1\) черных и \(n_1\) красных шаров в любой последовательности.

Занятие №5 (05.10)

Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что событие “герб-герб” появится меньше 1140 раз.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Найти приближенное значение вероятности того, что при 100 выстрелах будет не больше трех попаданий.
Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных шара, по схеме случайного выбора с возвращением проводят 2500 извлечений шаров. Найти приближенное значение вероятности того, что число появлений белого шара заключено между 480 и 540.
На одной странице 2400 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти приближенное значение вероятности того, что на странице не менее двух опечаток.
В таблице случайных чисел цифры сгруппированы по две. Найти приближенное значение вероятности того, что среди 100 пар набор 09 встретится не менее двух раз.
Найти приближенное значение вероятности того, что число “девяток” среди 10000 случайных цифр заключено между 940 и 1060.

Занятие №7 (19.10)

Игральный кубик случайно подбрасывается два раза. Найти ряд распределения для суммы выпавших очков, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
Из коробки, в которой находятся 2 зеленых, 2 черных и 6 красных стержней для шариковой руки, случайным образом извлекаются 4 стержня. Найти ряд распределения для количества извлеченных стрежней красного цвета, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
База снабжает 6 магазинов. От каждого из них может поступить заявка на данный день с вероятностью 1/3. Найти ряд распределения для числа заявок на базу, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
В коробке имеются 7 карандашей, из которых 5 красных. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. Найти ряд распределения для количества красных карандашей, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

Занятие №8 (25.10)

Электрички с Витебского вокзала в среднем ходят каждые 15 минут. Предполагая, что студент приходит на перрон в случайный момент времени, найти вероятность того, что он будет ждать отправления поезда больше 5 минут. Найти математическое ожидание, медиану и дисперсию данной случайной величины.
Время работы безотказного прибора распределено по показательному закону с плотностью \(p(t) = 0.02e^{-0.02t}I(t \geqslant 0)\) (функция \(I(A)\) возвращает единицу, если условие \(A\) истина и ноль в противном случае). Найти вероятность безотказной работы в течение 100 часов. Математическое ожидание, дисперсию, ско, моду и медиану данной случайной величины. Найти вероятность безотказной работы в течение 200 часов, если прибор безотказно работал в течение 100 часов.
Пусть \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\). Найти \(\mathrm{P}(X \in [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma])\).
Автомат штампует детали. Контролируемая длина летали \(X\), которая распределена с математическим ожиданием, равным 50 мм. Фактически длина деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятности того, что длина наудачу взятой детали
- больше 55 мм
- мменьше 40 мм
Считая, что балл за тест распределен нормально и фактические результаты лежат в диапазоне от 88 до 124, найти вероятность того, что оценка за тест у случайного человека будет больше 100.
Случайная величина \(X\) имеет плотность \(p(x) = \tfrac{c}{x^5}I(x \geqslant 1)\). Найти константу \(c\), функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, ско, моду и медиану.
Случайная величина \(X\) имеет функцию распределения \(F(x) = A\cdot\mathrm{arctg}(x) + B\). Найти константы \(A\), \(B\) (воспользуйтесь знаниями о предельных значениях функции распределения на плюс и минус бесконечности), плотность, моду и медиану. Что с математическим ожиданием?

Занятие №9 (02.11)

Случайная величина \(X\) имеет равномерное распределение на множестве \(\{-2, -1, 0, 1, 2\}\), \(Y = X^2\). Найти функцию вероятностей случайной величины \(Y\) и её числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию вычислить двумя способами).
Пусть \(X \sim \mathrm{Pois}(5)\). Найти \(\mathrm{M}\bigl(X(X - 1)(X - 2)\bigr)\)
Случайная величина \(X\) распределена равномерно на \([0, \pi]\). Найти
- плотность распределения случайной величины \(Y = \tfrac{2X}{\pi} - 1\)
- моменты \(\mathrm{M}\sin X\), \(\mathrm{M}\cos X\)
- плотность случайной величины \(U = -\ln \tfrac{X}{\pi}\)
Случайная величина \(X\) распределена нормально с математическим ожиданием 10 и дисперсией 4. Найти:
- плотность случайной величины \(Y = \tfrac{X - 10}{2}\)
- плотность случайной величины \(U = 2X + 1\)
Случайная величина \(X\) имеет стандартное экспоненциальное распределение, то есть \(F(t) = (1 - e^{-t})I(t \geqslant 0)\) – её функция распределения. Найти плотность случайной величины \(Y = F(X)\).

Занятие №10 (09.11)

Совместное распределение случайных величин \(X, Y\) задается таблицей:

X\Y	0	1	3
0	0.15	0.05	0.3
-1	0	0.15	0.1
-2	0.15	0	0.1

Найти:

одномерные распределения случайных величин \(X\) и \(Y\)
их математическое ожидание и дисперсию
ковариацию и коэффициент корреляции
условные вероятности \(\mathrm{P}(X = x_i\vert Y = y_j)\) и \(\mathrm{P}(Y = y_j\vert X = x_i)\)
условные математические ожидания \(\mathrm{E}(X\vert Y = y_j)\) и \(\mathrm{E}(Y\vert X = x_i)\)
\(\mathrm{Cov}(X + 2Y, 2X - Y)\), \(\mathrm{M}(2X + 3Y)\), \(\mathrm{D}(X + 3Y)\)
Совместное распределение \(X + Y\), \(X\cdot Y\)

Комплекс, состоящий из 10 однотипных блоков,
прекращает работу при выходе из строя хотя бы одного из этих блоков, что происходит с одинаковой вероятностью для
любого из них. Вероятность прекращения работы комплекса за некоторый цикл работы равна 0.1. Новый цикл начинается после завершения предыдущего или после ремонта поврежденного блока, если предыдущий цикл не был завершен. Определить математическое ожидание числа блоков, подвергавшихся
ремонту хотя бы один раз при 20 циклах. Подсказка: сначала решите задачу для комплекса из одного блока, затем сведите ее к изначальной.
Игральную кость бросают до того момента, когда впервые выпадет меньше пяти очков. Пусть \(X\) – количество очков, выпавшее при последнем броске, \(Y\) – количество бросков. Найти совместное распределение \(X\), \(Y\). Являются ли они зависимыми? Найти числовые характеристики \(X\), \(Y\) и коэффициент корреляции.

Занятие №11 (16.11)

Упрощенная система контроля изделий состоит из двух независимых проверок. В результате \(k\)-ой проверки (\(k = 1, 2\)) изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью \(\beta_k\), а бракованное изделие принимается с вероятностью \(\alpha_k\). Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. В партии из \(n\) изделий, каждое из которых независимо от остальных удовлетворяет стандарту с вероятностью \(p \in (0, 1)\), а с вероятностью \(q = 1 - p\) не удовлетворяет стандарту. Каждое из \(n\) изделий проходит проверку по описанной выше процедуре. За каждое изделие, удовлетворяющее стандарту и прошедшее проверку, предприятие получает \(a\) рублей, за бракованное изделие, прошедшее проверку, завод теряет \(b\) рублей, за изделие, не прошедшее проверку, завод теряет \(c\) рублей. Найти математическое ожидание прибыли предприятия за партию из \(n\) изделий.
Случайный вектор \((X, Y)\) имеет плотность \(p(x, y) = с(x + y)I((x, y) \in D)\), где \(D\) – треугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (2, 0). Найти
- константу \(c\)
- одномерные плотности и функции распределения для \(X\) и \(Y\)
- \(\rho_{X, Y}\) – коэффициент корреляции
- \(\mathrm{M}(X\vert Y = y)\), \(\mathrm{M}(Y\vert X = x)\)
- \(\mathrm{Cov}(X + 2Y, X - 2Y)\), \(\mathrm{D}(2X - 3Y)\)
Ту же задачу рещить для \(p(x, y) = c x y I((x, y) \in D)\), где \(D\) – квадрат с вершинами (0, 1), (1, 1,), (0, 1), (0, 0). Плюс выяснить, являются ли случайные величины \(X, Y\) – независимыми.
К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли кабины №1 и №2 соответственно, а третий остался ждать. Предполагая, что времена \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\tau_3\) разговоров клиентов независимы и одинаково распределены с экспоненциальным законом с параметром \(\lambda\), найти вероятности следующих событий:
- третий клиент попадет в кабину №1
- плотность времени ожидания третьего клиента
- третий клиент закончит разговор раньше первого или второго.

Занятие №12 (23.11)

Key words: risk management, risk assessment, risk matrix

Занятие №13 (30.11)

С помощью неравенства Чебышёва оценить \(\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}X| \leqslant k\sigma)\). В частности, решить эту задачу для:
- равномерного закона на \([a, b]\)
- пуассоновского закона с параметром \(\lambda\)
- биномиального распределения \(\mathrm{Bin}(n, p)\)
- экспоненциального распределения с параметром \(\lambda\)
- нормального закона \(\mathcal{N}(\mu, \sigma)\)
Складываются \(10^4\) чисел, округленных с точностью до \(10^{-m}\). Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале \([-0,5 \cdot 10^{-m}, 0,5\cdot 10^{-m}]\), найти пределы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
Случайные величины \(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots\) независимы и одинаково распределены: \(\mathrm{P}(\xi_i=1,25)=\mathrm{P}(\xi_i=0,75)=\frac{1}{2}, i \in \mathbb{N}\), и \(\eta_n=\xi_1 \cdot \ldots \cdot \xi_n\) Найти приближенно вероятности: \(\mathrm{P}(\eta_{1000} \leqslant 10^{-20})\), \(\mathrm{P}(\eta_{1000}<1,25^{501} \cdot 0,75^{499})\)
Пусть случайные величины \(X_1\), \dots, \(X_{1000}\) независимы и равномерно распределены на \(\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) и \(S_{1000} = X_1 + \ldots + X_{1000}\)
- С помощью неравенства Чебышёва оценить \(\mathrm{P}(S_{1000} \in [-100; 100])\)
- Ту же вероятность приближенно найти с помощью центральной предельной теоремы (далее – ЦПТ)
- С помощью неравенства Чебышёва оценить \(\mathrm{P}(S_{1000}/100 \in [-2; 0.5])\)
- Ту же вероятность приближенно найти с помощью ЦПТ
- С помощью неравенства Чебышёва найти наименьшее положительное \(M\), при котором \(\mathrm{P}(S_{1000} \leqslant M) \geqslant 0.9\)
- То же самое сделать с помощью ЦПТ

Домашние задания

Домашнее задание №1

Случайно подбрасываются четыре монеты. Найти вероятности событий:
- выпали четыре орла,
- выпал ровно один орёл,
- выпал хотя бы один орёл.
В урну положены 5 красных, 4 синих и 3 жёлтых шарика. Случайно без возвращения извлекаются 5 шаров. Найти вероятность, что вытащены 2 красных, 2 синих и 1 желтый шарики.
Те же условия и вопрос, но после каждого извлечения шар возвращается в корзину.
Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность, что сумма выпавших очков делится на 3.

Домашнее задание №2

В круге радиуса \(R\) случайно проводится хорда. Обозначим \(\xi\) ее длину. Найти вероятность \(Q_x = \mathrm{Р}\{\xi> x\}\), если середина хорды равномерно распределена в круге.
Решить предыдущую задачу, если направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном ее направлению.
Решить предыдущую задачу, если один конец хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности.
Случайная точка \(A\) имеет равномерное распределение в квадрате со стороной \(a\). Найти вероятность того, что расстояние от \(A\) до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от \(A\) до ближайшей диагонали квадрата.

Домашнее задание №3

В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0.90 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0.95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.
Василий хочет переслать сообщение Василисе, содержащее символы “-“, “+”, “|”. Во время передачи символ может исказиться, и на выходе получится один из двух других символов с вероятностью \((1 - \alpha)/2\), а с вероятностью \(\alpha\) исходный символ не искажается. Для повышения надежности каждый из символов исходного сообщения посылается в четырёх экземплярах. С какой вероятностью Василий хотел отправить “+”, если Василиса увидела последовательность “+-|+”?

Домашнее задание №4

Есть магазин Л. в дерерне Н. Каждый день в него приходит случайное количество покупателей. Найдите вероятность того, что количество покупателей будет больше 5, если предположить что данное количество – случайная величина, распределенная по Пуассону с параметром 5.
Монетка подбрасывают до тех пор, пока не выпадет решка. С какой вероятностью количество выпавших орлов будет больше 10?

Домашнее задание №5

Доработать не разобранные задачи с занятия №8