О курсе

Здесь студенты практического подпотока “Теор Вер N23 1.1” могут найти информацию и материалы по курсу теории вероятностей.

Аннотация

Теория вероятностей – одна из наиболее прикладных областей фундаментальной математики, сформировавшаяся в современном виде в XX веке (аксиоматика Колмогорова).

Сначала мы рассмотрим математические основания теории вероятностей, а именно изучим определения события и вероятности, посмотрим на разные примеры и узнаем базовые свойства вероятности, в частности, имеющую фундаментальную роль в науке и технике теорему Байеса. Затем мы изучим распределения случайных величин и их различные свойства, в особенности затронем их числовые характеристики. Также мы рассмотрим фундаментальные предельные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел и центральную предельную теорему, которые играют существенную роль в приложениях теории вероятностей, в частности, в математической статистикой.

Литература

Постарался подобрать побольше источников, чтобы каждый желающий смог найти полезный для себя

“Простые и понятные”

Тут, на мой взгляд, написано относительно просто и понятно. Приводится достаточно примеров и многое очень подробно объясняется.

Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика
Вентцель. Теория вероятностей
Чернова. Теория вероятностей

“Обычные”

Тоже неплохие источники, просто некоторые более-менее тривиальные вещи не так подробно объясняются:

Бородин. Элементарный курс по теории вероятностей и математической статистике
Горлач. Теория вероятностей и математическая статистика
Электронный конспект (пре-α версия)

Для тех, кому интересно серьезно погрузиться в тему

Боровков. Теория вероятностей
Ширяев. Вероятность
Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения

Дополнительно

Ширяев. Задачи по теории вероятностей (интересные и нетривиальные задачки)

Задачники

Зубков и др. Сборник задач по ТВ и МС
Прохоров и др. Задачи по ТВ.
Свешников и др. Сборник задач по ТВ, МС и случайным функциям
Гмурман. Руководство к решению задач по ТВ и МС

Специальные таблицы

Таблица значений функции распределения стандартного нормального закона

Задачи с занятий

Занятие №1

Колода из 36 карт хорошо перемешали (т.е ве возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:
- четыре туза расположены рядом,
- места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7.
На полке в случайном порядке расставлены 40 книг, среди которых находится трехтомник А.С. Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).
Из множества всех последовательностей длины $n$, состоящих из цифр 0,1,2, случайно выбирается одна. Найти вероятности событий:
- последовательность начинается с 0,
- последовательность содержит ровно $m+2$ нуля, причем 2 из них находятся на концах последовательности,
- последовательность содержит ровно $m$ единиц,
- в последовательности ровно $m_0$ нулей, $m_1$ единиц, $m_2$ двоек.
Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в большом городе
- состоит 4 разных цифр;
- имеет только одинаковые цифры;
- имеет две пары одинаковых цифр;
- имеет только три одинаковые цифры?
Из карточек разрезной азбуки составлено слово “СТАТИСТИКА”. Затем из этих 10 карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово “ТАКСИ”.
Из 30 чисел $(1, 2 ,\dots, 29 , 30)$ случайно отбирается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:
- все числа нечетные,
- ровно 5 чисел делится на 3,
- 5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно одно число делится на 10.
Задача со звёздочкой. Некоторые горожане считают трамвайный, троллейбусный или автобусный билет “счастливым”, если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить “счастливый” билет.
В круге радиуса $R$ случайно проводится хорда. Обозначим $\xi$ ее длину. Найти вероятность $Q_x = \mathrm{Р}\{\xi> x\}$, если середина хорды равномерно распределена в круге.
Решить предыдущую задачу, если направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном ее направлению.
Решить предыдущую задачу, если один конец хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности.
Точка $A$ случайно бросается в квадрат с единичной площадью. Найти вероятности событий:
- расстояние от точки $A$ до фиксированной стороны квадрата не превосходит $x$,
- тот же вопрос, но до ближайшей стороны,
- аналогично, только до центра,
- то же самое, только до фиксированной стороны.
Случайная точка c координатами $(\xi, \eta)$ бросается в квадрат $[-1; 1]^2$. Найти вероятности событий:
- квадратное уравнение $x^2 + 2\xi x + \eta = 0$ имеет вещественные корни,
- то же уравнение имеет только положительные корни,
- кубическое уравнение $x^3 + 3\xi x + \eta = 0$ имеет ровно $k$ вещественных корней.
Брошены две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится па пять.
Среди 25 экзаменационных билетов 5 “хороших”. Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что:
- первый студент взял “хороший” билет;
- второй студент взял “хороший” билет;
- оба студента взяли “хорошие” билеты. Решить задачу для произвольных количества экзаменационных билетов $n$, количества “хороших” билетов $m$ и $j$-го студента.
Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар, то объявляется ничья. Найти вероятности победы первого и второго игроков, ничьи.
Найти вероятность отсутствия тока в данной цепи, если элементы ломаются независимо с вероятностями $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$, $p_5$.

Схема

Занятие №2

Упрощенная система контроля изделий состоит из двух независимых проверок. В результате $k$-й проверки $(k = 1, 2)$ изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью $\beta_{k}$, а бракованное изделие принимается с вероятностью $\alpha_{k}$. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности событий:
- бракованное изделие будет принято;
- изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.
В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0.90 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0.95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.
При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна $1 - \beta$. Вероятность принять здорового человека за больного равна $\alpha$. Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна $\gamma$.
- Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
- Найти вероятность быть здоровым, если два независимых обследования показали наличие болезни
- Вычислить найденные вероятности при следующих $1 - \beta = 0.9, \alpha = 0.01, \gamma = 0.001$.
Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью $p$. При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью $\alpha$; кроме того, с вероятностью $\beta$ исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность $q_0$ того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность $q_1$ того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях $q_0>q_1$?
Имеются $n$ урн одинакового состава: $N$ белых и $M$ черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Урна содержит один шар, про который известно, что он либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что оставшийся в урне шар - белый?
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:
- не будет искажено;
- содержит ровно 3 искажения;
- содержит не более трех искажений?
Найти вероятность того, что в $2n$ испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха $p$ и неудачи $q = 1 - p$ появится $m + n$ успехов и все испытания с четными номерами закончатся успехом.
В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает $k$ очков, $k \in \{0, 1, \ldots, 5\}$
При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью $p_1$, полностью ломается с вероятностью $p_2$, получает серьезное повреждение с вероятностью $p_3$, $(p_1 + p_2 + p_3 = 1)$. Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении $n$ порогов байдарка не будет полностью сломана.
В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен. Определить вероятность того, что:
- в каждый вагон вошло по два человека;
- в один вагон никто не вошел, в другой – вошел один человек, в два вагона – по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека.
Урна содержит $l$ белых, $m$ черных и $n$ красных шаров. Производится $l_1 + m_1 + n_1$ извлечений шаров по одному с возвращением каждого извлеченного шара. Определить вероятность того, что будет извлечено:
- сначала $l_1$ белых, затем $m_1$ черных и, наконец, $n_1$ красных шаров;
- $l_1$ белых, $m_1$ черных и $n_1$ красных шаров, причем все шары одного цвета появляются подряд, но последовательность цветов может быть любой;
- $l_1$ белых, $m_1$ черных и $n_1$ красных шаров в любой последовательности.

Занятие №3

Игральный кубик случайно подбрасывается два раза. Найти ряд распределения для суммы выпавших очков, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
Для данных распределений выписать ряд распределения (функцию вероятностей – pmf), изобразить график функции распределения (cdf), найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и производящую функцию вероятностей:
- Вырожденное
- Бернулли
- Биномиальное
- Пуассон
- Геометрическое
На сервер пришло $\zeta$ запросов, причем $\zeta \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$, причем каждый из запросов независимо от остальных и общего количества запросов с вероятностью $p$ приходит из города М. Найти распределение суммарного количества запросов из города М.

Задачи со звёздочкой

Пусть $\mathrm{E}X < +\infty$ и случайная величина $X$ принимает целые неотрицательные значения. Показать, что $\mathrm{E}X = \sum_{k = 1}^{\infty}\mathrm{P}(X \geqslant k)$
Пусть $A$ – некоторое событие, $X$ – дискретная случайная величина. Определим математическое ожидание $X$ при условии $A$ как

\[\mathrm{E}(X|A) = \sum_{k}x_k\mathrm{P}(X = x_k|A).\]

Пусть $(A_j)$ – полная группа несовместных событий. Доказать справедливость формулы полного математического ожидания (аналог формулы полной вероятности):

\[\mathrm{E}(X) = \sum_j\mathrm{E}(X|A_j)\mathrm{P}(A_j).\]

В частности, если $Y$ – другая дискретная случайная величина и $A_j = \mathrm{P}(Y = y_j)$, то $E(X) = E_{\mathrm{P}(Y)}(E_{\mathrm{P}(X|Y)}(X|Y))$.

Сделать задачу 2 из обычных для гипергеометрического распределения.
Сделать задачу 2 из обычных для отрицательного биномиального распределения.
Имеются $n$ урн одинакового состава: $N$ белых и $M$ черных шаров. Из первой урны во вторую перекладываются $k > 1$ шаров, затем из второй урны в третью тоже $k$ шаров и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Найти предельное распределение для $\mathrm{Bin}(n, \lambda/n)$
Найти предельное распределение для $\mathrm{HG}(n, m, k)$ при $n, m \to \infty$, причем $m/n \to p$.

Занятие №4

Пусть $p(x) = \frac{c}{x^5}\mathrm{I}(x \geqslant 1)$ – плотность случайной величины $X$, где $c > 0$ – нормирующая константа. Найти данную константу, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
Пусть $F(x) = c\cdot\mathrm{arctg}(x - b) + d$ – функция распределения случайной величины, где $c > 0$ и $b, d \in \mathbb{R}$. Найти $c, d$, плотность, моду и медиану. А что с математическим ожиданием?
Для равномерного распределения на $[a, b]$ написать аналитически функцию распределения, изобразить ее график, вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, медиану.
Электрички с Витебского вокзала в среднем ходят каждые 15 минут. Предполагая, что студент приходит на перрон в случайный момент времени, найти вероятность того, что он будет ждать отправления поезда больше 5 минут. Найти математическое ожидание, медиану и дисперсию данной случайной величины.
Пусть $p(x) = \lambda^{-1}\exp(-\lambda^{-1}x)\mathrm{I}(x \geqslant 0)$ – плотность случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение. Найти функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию, ско, моду и медиану.
Пусть $X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$. Найти $\mathrm{P}(X > t + \tau | X > \tau)$. Получившийся ответ называется свойством отсутствия памяти
Рассмотрим простейший поток событий, для которого справедливы следующие свойства:
- Стационарность: пусть $N(t_1, t_2)$ – количество событий, произошедших за промежуток времени $[t_1, t_2]$. Тогда $\mathrm{P}(N(t_1, t_1 + \Delta t) = k) = \mathrm{P}(N(0, \Delta t) = k)$ для любых $t, \Delta t > 0$
- Ординарность: если $\Delta t$ в окрестности нуля справа, то $\mathrm{P}(N(0, \Delta t) > 1) = o(\Delta t)$
- Отсутствие последствий: $\mathrm{P}(N(t, t + \Delta t) = k| N(t_1, t_1 + \Delta t_1) = k_1) = \mathrm{P}(N(t, t + \Delta t) = k)$ для любых $k, k_1, t, \Delta t, t_1, \Delta t_1$, для которых $t_1 < t$, $t_1 + \Delta t_1 < t$. Оказывается, что в рамках данной модели время $T_k$, за которое пришло ровно $k$ запросов имеет распределение Эрланга порядка $k$, задаваемое плотностью $p_k(x) = \frac{\lambda^{k}x^{k - 1}\exp(-\lambda x)}{(k - 1)!}\mathrm{I}(x \geq 0).$ Найти распределение случайной величины $N(t_0) = N(0, t_0)$. Подсказка: рассмотреть вероятность $\mathrm{P}(N(t_0) \leqslant k) = \mathrm{P}(T_{k + 1} > t_0)$
Для нормального закона $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану.
Для нормально распределенной случайной величины $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ выразить $\mathrm{P}$
Для нормально распределенной случайной величины $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ вычислить $\mathrm{P}(X \in [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma])$ (принцип трех сигм)
Считая, что балл за тест распределен нормально и фактические результаты лежат в диапазоне от 88 до 124, найти вероятность того, что оценка за тест у случайного человека будет больше 100.

Задачи со звёздочкой

Показать, что в классе непрерывных распределением с положительным носителем свойством отсутствия памяти обладает только экспоненциальное распределение.
У неотрицательной непрерывной случайной величины $X$ существует математическое ожидание $\mathrm{M}X$. Доказать, что $\mathrm{M}X = \int\limits_{0}^{\infty}\mathrm{P}(X \geqslant r)dr$
Для следующих задач понадобится характеристическая функция случайной величины, которая определяется следующим образом: $f(t) = \int\limits_{\mathbb{R}}p(x)\exp(itx)dx, \quad t \in \mathbb{R}$. Выразить математическое ожидание и дисперсию через характеристическую функцию. Подсказка: продифференцировать хар. функцию по $t$
Найти хар. функцию для $\mathcal{N}(0, 1)$.
Найти хар. функцию для $\mathrm{Pois}(\lambda)$. Подсказка: тут вместо интеграла будет сумма вида $\sum_k p_k \exp(itk)$
Найти предел $f_{\lambda}(t)$ при $\lambda \to +\infty$, где $f_\lambda$ – характеристическая функция случайной величины $\frac{X_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}}$, где $X_\lambda \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$

Занятие №5

Совместное распределение случайных величин $X, Y$ задается таблицей:

X\Y	0	1	3
0	0.15	0.05	0.3
-1	0	0.15	0.1
-2	0.15	0	0.1

Найти:

одномерные распределения случайных величин $X$ и $Y$
их математическое ожидание и дисперсию
ковариацию и коэффициент корреляции
условные вероятности $\mathrm{P}(X = x_i\vert Y = y_j)$ и $\mathrm{P}(Y = y_j\vert X = x_i)$
условные математические ожидания $\mathrm{E}(X\vert Y = y_j)$ и $\mathrm{E}(Y\vert X = x_i)$

Задачи со звездочкой

Как обобщить сформулированные выше понятия для систем из двух дискретных величин на непрерывный случай?
$p(x, y) = (x + y)I(0 \leqslant x,y\leqslant 1)$ – совместная плотность случайных величин $X$, $Y$. Найти:
- маргинальную плотность для $X$
- математическое ожидание и дисперсию для $X$
- ковариацию и коэффициент корреляции $X$, $Y$
- условную плотность $p_{X\vert Y}(x\vert y)$
- условное математическое ожидание $\mathrm{E}(X\vert Y = y)$
$p(x, y) = \frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{2}\right)$ – совместная плотность случайных величин $X$, $Y$. Найти:
- маргинальную плотность для $X$
- математическое ожидание и дисперсию для $X$
- ковариацию и коэффициент корреляции $X$, $Y$
- условную плотность $p_{X\vert Y}(x\vert y)$
- условное математическое ожидание $\mathrm{E}(X\vert Y = y)$

Занятие №6

Случайная величина $X$ равномерно распределена на $\{-2; -1; 0; 1; 2\}$. Пусть $Y = X^2$, найти ряд распределения случайной величины $Y$.
Пусть $X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$. Найти $\mathrm{M}X(X - 1)(X - 2)$.
Найти совместное распределение случайных величин $X + Y$, $X \cdot Y$, если совместное распределение случайных величин $X$, $Y$ задается таблицей с прошлого раза. Найти $\mathrm{Cov}(3X + 4Y, 3X - 4Y)$, $\mathrm{D}(X - 2Y)$, $\mathrm{M}(X - Y)$
Дискретные целочисленные случайные величины $X$, $Y$ независимы. Найти $\mathrm{P}(X + Y = k)$. В частности, решить задачу, если
- $X \sim \mathrm{Bern}(p)$, $Y \sim \mathrm{Bern}(p)$
- $X \sim \mathrm{Bin}(n - 1, p)$, $Y \sim \mathrm{Bern}(p)$
- $X \sim \mathrm{Geom}(p)$, $Y \sim \mathrm{Geom}(p)$
- $X \sim \mathrm{NB}(r - 1, p)$, $Y \sim \mathrm{Geom}(p)$
Пусть $p_X$ – плотность случайной величины $X$, $g: E \to \mathbb{R}$ – строго монотонная гладкая функция, $Y = g(X)$. Найти плотность случайной величины $Y$. В частности, решить задачу, если
- $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, $Y = aX + b$,
- $X \sim \mathrm{U}(a, b)$, $Y = cX + d$, $c > 0$
- $X \sim \mathrm{Cauchy}(0, 1)$, $Y = 1 - X^3$
$X \sim \mathrm{U}(0, \pi)$. Найти $\mathrm{M}\sin X$, $\mathrm{M}\cos X$, $\mathrm{Cov}(\sin X, \cos X)$
$X \sim \mathrm{U}(-1; 2)$, $Y_1 = X^2$, $Y_2 = \vert X\vert$. Найти функцию распределения и плотность случайных величин $Y_1$, $Y_2$.
Совместная плотность случайных величин $X, Y$ задается как $p(x, y) = c\cdot x\cdot y \cdot I(0 \leqslant x,y \leqslant 1)$. Найти $c$, $\mathrm{Cov}(2X + 3Y, X + Y)$. Найти одномерные (маргинальные) плотности $p_X$, $p_Y$ одномерных величин $X$, $Y$. Являются ли $X, Y$ независимыми?
Случайный вектор $(X, Y)$ равномерно распределен на $x^2 + y^2 \leqslant 1$. Найти совместное распределение полярного радиуса и угла. Являются ли они независимым? Найти $\mathrm{M}(X + 2Y)$, $\mathrm{Cov}(3X - 4Y, X + Y)$
Случайные величины $X$, $Y$ независимы и непрерывны. Найти плотность случайной величины $X + Y$. В частности, решить задачу, если
- $X$, $Y$ – равномерно распределенные на $[-1; 1]$ случайные величины
- $X$, $Y$ – стандартные гауссовские величины

Занятие №7

С помощью неравенства Чебышёва оценить $\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}X| \leqslant k\sigma)$. В частности, решить эту задачу для:
- равномерного закона на $[a, b]$
- пуассоновского закона с параметром $\lambda$
- биномиального распределения $\mathrm{Bin}(n, p)$
- экспоненциального распределения с параметром $\lambda$
- нормального закона $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$
Доказать закон больших чисел:
- в форме Чебышёва
- для независимых одинаково распределенных случайных величин
Случайные величины $(X_k)_{k = 1}^{\infty}$ независимы, причем $\mathrm{P}(X_n = 1) = \mathrm{P}(X_n = -1) = \frac{1}{n^2}$, $\mathrm{P}(X_n = 0) = 1 - \frac{2}{n^2}$. Показать, что для данной последовательности выполняется закон больших чисел в форме Чебышёва
Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что событие “герб-герб” появится меньше 1140 раз.
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Найти приближенное значение вероятности того, что при 100 выстрелах будет не больше трех попаданий.
Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных шара, по схеме случайного выбора с возвращением проводят 2500 извлечений шаров. Найти приближенное значение вероятности того, что число появлений белого шара заключено между 480 и 540.
На одной странице 2400 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти приближенное значение вероятности того, что на странице не менее двух опечаток.
Складываются $10^4$ чисел, округленных с точностью до $10^{-m}$. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале $[-0,5 \cdot 10^{-m}, 0,5\cdot 10^{-m}]$, найти пределы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
Случайные величины $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ независимы и одинаково распределены: $\mathrm{P}(\xi_i=1,25)=\mathrm{P}(\xi_i=0,75)=\frac{1}{2}, i \in \mathbb{N}$, и $\eta_n=\xi_1 \cdot \ldots \cdot \xi_n$ Найти приближенно вероятности: $\mathrm{P}(\eta_{1000} \leqslant 10^{-20})$, $\mathrm{P}(\eta_{1000}<1,25^{501} \cdot 0,75^{499})$
Монетка подброшена 200 раз. Найти приближенные вероятности:
- орел выпал 105 раз
- орел выпал 98 раз
Игральный кубик подброшен 360 раз. Найти приближенную вероятность того, что шестерка выпадет 50 раз.
Задача с маленькой звездочкой. Во многих современных языках высокого уровня или программных продуктах есть функция типа random, симулирующая независимые равномерно распределенные случайные величины на [0,1] (симулирует, потому что на самом деле там генераторы псевдослучайных чисел). Предложите приближенный алгоритм, генерирующий стандартную гауссовскую величину.
Задача со звездочкой чуть побольше. Преобразование Бокса-Мюллера. Показать, что величины $Z_0 = \sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2)$, $Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\sin(2\pi U_2)$ являются независимыми и стандартными гауссовскими, если $U_1$, $U_2$ – независимые случайные величины, равномерно распределенные на $[0, 1]$
Задача со звездочкой. Игла Бюффона. Имеются разлинованный стол, у которого расстояние между линиями равняется $d$, и игла длины $2l < d$. Найти вероятность пересечения иглой какой-нибудь линии после случайного броска. Предложите и обоснуйте с помощью результатов этой задачи алгоритм для приближенного вычисления числа $\pi$. Оцените его погрешность (точнее ее вероятность).