О курсе

Более-менее подробную аннотацию, в том числе и литературу, можно посмотреть в syllabus.

Условия РГР/Лаб.

Экзамен

Задачи

Набор 1

  1. Имеется достаточно большая разлинованная плоская поверхность, причем расстояние между линиями на поверхности равняется \(d\). На эту поверхность случайно бросается иголка длины \(2l\). Найти вероятность того, что после броска иголка пересечет какую-то линию, если:
    • \(2l < d\) («простой» случай),
    • \(2l \geqslant d\) (более «сложный»).
  2. К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии \(A\) и через каждые шесть минут - автобус линии \(B\). Интервал времени между моментами прихода первого автобуса линии \(A\) и первого автобуса линии \(B\) равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что:
    • первый подошедший автобус окажется автобусом линии \(A\);
    • автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут.
  3. Рассмотрим функцию \(f_{\xi, \eta}(x) = x^3 - 3\xi^2 x + \eta\), где точка \((\xi, \eta)\) случайно бросается в квадрат \([0; 1]^2\). С какой вероятностью уравнение \(f_{\xi, \eta}(x) = 0\) имеет ровно \(k\) различных вещественных корней?
  4. Стержень длины \(x\) ломается на части, причем положение каждой точки излома не зависит от положения других точек излома и равновозможно по всей длине стержня. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня между точками излома будет не более \(y < x\), если точек излома:
    • две;
    • три.
  5. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятности, что они образуют:
    • треугольник,
    • правильный треугольник,
    • прямоугольный треугольник.
  6. В круге радиуса \(R\) случайно проводится хорда, причем середина хорды равномерно распределена в круге. Пусть \(\xi\) – длина хорды. Найти \(\mathrm{P}(\xi > x)\).
  7. Решить предыдущую задачу, если направление хорды задано, а середина хорды равномерно распределена на диаметре, перпендикулярным направлению хорды.
  8. Решить предыдущую задачу, если один конец хорды зафиксирован, второй равномерно распределен на окружности.

Набор 2

  1. Имеются \(K\) урн одинакового состава: \(W\) белых и \(B\) черных шаров.
    • Простая версия: из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
    • Со звёздочкой: В конце также вытаскивают один шар, но на промежуточных шагах перекладываются \(m \geqslant 2\)
  2. \(X\) раз бросается игральный кубик, причем \(\mathrm{P}(X = k) = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}\), где \(k \in \mathbb{N}_0\), \(\lambda > 0\). Найти вероятность того, что единичка выпадет \(j\) раз.
  3. \(n\) студентов сдают экзамен письменный экзамен по следующей схеме: первый студент берет случайным образом один из \(n\) билетов, второй – один из оставшихся \(n - 1\) билетов, \(j\)-ый студент выбирает один из оставшихся \(n - j + 1\) билетов. Среди \(n\) билетов имеются \(k\) хороших (они одинаковы для каждого студента). Найти вероятность того, что \(j\)-ый студент достанет хороший билет (отдельно рассмотреть случай \(j \leqslant k\)).
  4. Половина звёздочки. Случайная точка \((X, Y)\) имеет равномерное распределение на \([0; 1]^2\) (точка \((X, Y)\) случайно бросается в \([0;1]^2\)). Положим \(A_r = \{|X - Y| \geqslant r\}\), \(B_r = \{X + Y \leqslant 3r\}\). При каких \(r\) события \(A_r\), \(B_r\) независимы?
  5. Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью \(p\). При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью \(\alpha\); кроме того, с вероятностью \(\beta\) исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность \(q_0\) того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность \(q_1\) того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях \(q_0 > q_1\)?
  6. Пусть \(p_n = \alpha p^n\), \(n \in \mathbb{N}\), – вероятность того, что в семье \(n\) детей, \(p_0 = 1 - \sum_{n = 1}^{\infty}\alpha p^n\) – вероятность того, что в семье 0 детей. Найти вероятности:
    • в семье ровно \(k\) мальчиков,
    • в семье хотя бы 2 мальчика, если в семье есть по крайней мере 1 мальчик
  7. Рассмотрим сеть со следующей топологией. Найти вероятность того, что передача не дойдет из начала в конец, если узлы \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\), \(A_5\) ломаются независимо с вероятностями \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), \(p_4\), \(p_5\) соответственно. Схема

Набор 3

  1. В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает \(k\) очков, \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\).
  2. Сообщения, передаваемые по каналу связи, составляются из трех знаков: \(A\), \(B\), \(C\). Из-за помех каждый знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и принимается ошибочно за любой из двух других знаков с вероятностью 0,2. Для увеличения вероятности правильного приема каждый знак передается 5 раз. За переданный знак принимается знак, который чаще всего встречается в принятой пятерке знаков. Если наиболее частых знака два, то из них выбирается равновероятно один. Найти вероятность правильного приема знака при указанном способе передачи.
  3. Трое рабочих на своих станках производят изделия только отличного и хорошего качества, причем первый и второй из них производят изделия отличного качества с вероятностью 0,9, а третий – с вероятностью 0,8. Один из этих рабочих изготовил 8 изделий, среди которых 2 хороших. Какова вероятность, что среди следующих 8 изделий, изготовленных тем же рабочим, будут 2 хороших и 6 отличных?
  4. Один из двух наудачу выбранных стрелков произвел 200 независимых выстрелов и получил 116 попаданий. Вероятность попадания при каждом выстреле для первого стрелка равна 1/2, а для второго 2/3. Определить вероятность того, что стрелял первый стрелок. С помощью какой предельной теоремы разумно упростить ответ с вычислительной точки зрения (ответ получится приближенным) и как?

В следующих задачах нужно для решения нужно воспользоваться одной из предельных теорем

  1. По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0,005. Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.
  2. Случайно генерируются 100 пар случайных цифр. Найти приближенное значение вероятности того, что среди 100 пар 09 встретится не менее двух раз.
  3. Найти приближенное значение вероятности того, что число «девяток» среди 10000 случайных цифр заключено между 940 и 1060. Оценить минимальное \(\Delta\), при котором количество «девяток» будет в диапазоне \([1000 - \Delta, 1000 + \Delta]\) с вероятностью 0,9.
  4. Сколько раз достаточно подбросить «честную» монетку, чтобы доля выпавших орлов отличалась от 0.5 не более чем на 0.01 с уровнем доверия 0.99?

Набор 4

Обычно случайные величины будем обозначать большими последними буквами латинского алфавита \(U\), \(W\), \(X\), \(Y\). Несколько реже – греческие буквы \(\xi\), \(\eta\), \(\nu\). Если случайная величина \(X\) имеет вероятностное распределение \(\mathrm{P}\), то будем это обозначать в виде \(X \sim \mathrm{P}\) (также используется нотация \(X \in \mathrm{P}\)).

  1. Случайная величина \(X\) имеет гипергеометрическое распределение с параметрами \(m \in \mathbb{N}\), \(n \in \{1,\ldots, m\}\), \(k \in \{1, \ldots m\}\), где \(m\) интерпретируется как общее количество деталей в урне, \(n\) – количество «хороших» деталей, \(k\) – количество извлекаемых без возвращения деталей, \(X\) – количество «хороших» деталей среди \(k\) извлеченных деталей, то есть \(\mathrm{P}(X = j) = \frac{C_n^j\cdot C_{m - n}^{k - j}}{C_m^k}\), \(j \in \{\max(0, k + n - m), \ldots, \min(k, n)\}\) Соответствующий класс распределений будем обозначать как \(\mathrm{HG}(m, n, k)\). Найти предел \(\mathrm{P}(X = j)\) при \(m \to \infty\), если \(n = n(m)\) и \(n/m \to p \in (0, 1)\).
  2. Пусть \(X\) – количество неудач до первого успеха в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(p \in (0, 1)\). В этом случа будем говорить, что случайная величина \(X\) имеет геометрическое распределение с параметром \(p\), то есть \(X \sim \mathrm{Geom}(p)\). Найти \(\mathrm{P}(X \geqslant m + n\vert X \geqslant m)\), \(m, n \in \mathbb{N}_0\).
  3. Случайная величина \(X\) принимает целове нетрицательные значения и известно, что \(\mathrm{P}(X \geqslant m + n\vert X \geqslant m) = \mathrm{P}(X \geqslant n)\) для всех \(m, n \in \mathbb{N}_0\). Показать, что \(X\) имеет геометрическое распределение.
  4. Пусть \(X\) – количетсво неудач до успеха с номером \(r\) в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(p\). Будем говорить, что \(X\) имеет отрицательное биномиальное распределение и соответсвующий классс распределений обозначать как \(\mathrm{NB}(r, p)\). Пусть \(r \to \infty\) и \(p \to 1\) так, чтобы \(\frac{(1 - p) r}{p} \to \lambda > 0\). Найти предел вероятностей \(\mathrm{P}(X = k)\)
  5. Случайная величина \(X\) принимает целые неотрицательные значения. Чему равняется \(\sum_{k = 1}^{\infty} \mathrm{P}(X \geqslant k)\), если ряд сходится?
  6. Случайная величина \(X\) принимает целые неотрицательные значения. Рассмотрим функцию \(f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty}p_k z^k\), где \(p_k = \mathrm{P}(X = k)\), \(|z| \leqslant 1\).
    • Найти функцию \(f(\cdot)\) для распределений:
      • вырожденное, Бернулли
      • Биномиальное
      • Пуассон
      • геометрическое
      • отрицательное биномиальное
    • Найти \(p_k\) через функцию \(f(\cdot)\), чему равняется \(f'(1)\) (если она существует)?

Набор 5

Для решения задач понадобится следующее знание: случайная величина \(X\) и её распределение \(P_X\) называются абсолютно непрерывными (часто для краткости говорят/пишут непрерывные), если существует функция плотности \(p_X\) – неотрицательная, интегрируемая на всей вещественной прямой функция, для которой \(\mathrm{P}(X \in B) = \int_B p_X(t)dt\) для всех борелевских множеств \(B \in \mathcal{B}\) (отсюда, например, мгновенно получается связь функции распределения и плотности)

  1. Случайная величина \(X\) имеет плотность \(p(x) = c_\alpha x^{\alpha}\mathrm{1}(x \geqslant 1)\), \(c_\alpha > 0\). При каких \(\alpha\) данная функция действительно является плотностью? Найти константу \(c_\alpha\), функцию распределения случайной величины \(X\).
  2. Пусть \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\). Найти \(\mathrm{P}(X > t + \tau\vert X>\tau)\)
  3. Случайная величина \(X\) принимает неотрицательные значения и известно, что \(\mathrm{P}(X > t + \tau\vert X>\tau) = \mathrm{P}(X > t)\). Найти распределение случайной величины \(X\).
  4. Случайная точка \(B\) равномерно распределена на окружности \(x^2 + (y - a)^2 = r^2\) с центром в точке \(O = (0, a)\). Пусть \(C = (\xi, 0)\) – точка пересечения прямой \(OB\) с осью абсцисс. Найти функцию распределения и плотность случайной величины \(\xi\).
  5. Случайная величина \(X\) распределена равномерно на \([a, b]\), \(X \sim \mathrm{U}[a,b]\), то есть \(p(t) = (b - a)^{-1}\mathrm{1}(t \in [a, b])\). Найти функцию распределения и плотность случайной величины \(Y = -\ln(X - a) + \ln(b - a)\).
  6. Будем говорить, что случайная величина \(X\) имеет экспоненциальное или показательное распределение, что будем обозначать как \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\), \(\lambda > 0\), если \(p(t) = \lambda \exp(-\lambda t)\mathrm{1}(t \geqslant 0)\) – плотность \(X\). Найти фукнцию распределения и плотность случайной величины \(Y = \{X\}\), где \(\{\cdot\}\) – дробная часть числа.
  7. Пусть \(X\) – гауссовская случайная величина (нормально распределенная случайная величина), что будем обозначать как \(X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), \(\mu \in \mathbb{R}\), \(\sigma > 0\), с плотностью \(p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\Bigl(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr)\). Выразить \(\mathrm{P}(X \in [a,b])\) через \(\Phi\) – функцию распределения стандартного нормального закона \(\mathcal{N}(0, 1)\).
  8. Пусть \(F\) – непрерывная функция распределения случайной величины \(X\). Как распределена случайная величина \(Y = F(X)\).
  9. Пусть \(X \sim \mathrm{U}[0; 1]\) и положим \(F^{-1}(y) = \sup\{x \in \mathbb{R}: F(x) \leqslant y\}\), \(y \in [0; 1]\), \(F\) – функция распределения (необязательно непрерывная). Показать, что \(Y = F^{-1}(X)\) имеет функцию распределения \(F\).
  10. Пусть \(X \sim \mathrm{Cauchy}(0; 1)\), то есть \(p(x) = \pi^{-1}(1 + x^2)^{-1}\). Найти законы распределения случайных величин \(Y_1 = X^2 / (1 + X^2)\), \(Y_2 = 2X / (1 - X^2)\), \(Y_3 = 1/X\).
  11. Пусть \(X \sim \mathrm{U}[0, 1]\). Найти функцию распределения и плотность случайных величин \(Y_1 = \sin (\pi X)\), \(Y_2 = 2X \mathrm{I}(X \in [0, 1/2]) + 2(1 - X)\mathrm{I}(X \in (1/2, 1])\), \(Y_3 = X\mathrm{I}(X \in (0, 1/3]) - \mathrm{I}(X \in (1/3, 2/3]) - X^3\mathrm{I}(X \in (2/3, 1])\).

Набор 6

  1. Случайный вектор \((X, Y)\) имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках (-1;0), (0; 1), (1; 0). Найти распределение случайной величины \((X + Y)/2\).
  2. Пусть \(p(x, y) = c(x + y)\mathrm{1}((x , y) \in [0; 1]^2)\) – совместная плотность величин \(X\), \(Y\). Найти константу \(c\) и плотность случайной величины \(U = \max(X, Y)\).
  3. Найти совместный закон распределения полярных радиуса \(\xi\) и угла \(\eta\) и маргинальные распределения для \(\xi\) и \(\eta\), если вектор \((X, Y)\) является стандартным гауссовским.
  4. Случайный вектор \((X, Y)\) имеет равномерное распределение в круге \(x^2 + y^2 \leqslant 1\). Найти
    • \(\mathrm{P}(\vert X \vert \leqslant 3/4, \vert Y \vert \leqslant 3/4)\).
    • Совместный закон распределения полярных радиуса \(\xi\) и угла \(\eta\) и маргинальные распределения для \(\xi\) и \(\eta\).
  5. Совместная плотность случайных величин \(X\), \(Y\) задается как \(p(x, y) = \frac{2}{(x^2 + y^2)^3}\mathrm{1}(x^2 + y^2 \geqslant 1)\). Найти плотность случайной величины \(U = \sqrt{X^2 + Y^2}\).
  6. Случайные величины \(X_1, \ldots, X_n\) независимы и одинаково распределены с функцией распределения \(F\). Найти функцию распределения для \(\max(X_1,\ldots, X_n)\),\(\min(X_1,\ldots, X_n)\).
  7. Пусть выполнены условия предыдущей задачи, \(p\) – плотность и \(X_{(1)} < \ldots < X_{(n)}\) – отсортированные величины по возрастанию. Найти
    • совместную плотность для \((X_{(k)}, X_{(l)})\), \(k < l\)
    • совместную плотность для \((X_{(1)},\ldots, X_{(n)})\)
  8. К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли кабины № 1 и № 2 соответственно, а третий остался ждать. Предполагая, что времена \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\tau_3\) разговоров клиентов независимы и одинаково распределены с экспоненциальным законом с параметром \(\lambda\), найти вероятности:
    • третий клиент попадет в кабину № 1,
    • плотность распределения времени ожидания третьего клиента,
    • третий клиент закончит разговор раньше первого или второго.
  9. Пусть \(X\), \(Y\) – независимые стандартные гауссовские величины. Найти функцию распределения и плотность случайной величины \(U = X / Y\).
  10. В \(N\) ячеек независимо бросают частицы: для каждой частицы вероятность попадания в \(i\)-ю ячейку равняется \(p_i = 1/N\). Обозначим через \(\nu_1 < \ldots < \nu_N\) номера бросков, при которых частицы попадают в пустые ячейки; положим \(\tau_1 = \nu_1 = 1\), \(\tau_k = \nu_k - \nu_{k - 1}\) при \(k \geqslant 2\) и обозначим через \(\theta_k\) номер ячейки, в которую попадает частица при \(\nu_k\) бросании. Найти:
    • совместное и одномерные распределения величин \(\tau_2\), \(\tau_3\);
    • совместное и одномерные распределения величин \(\tau_2, \dots, \tau_N\) (являются ли эти величины независимыми?);
    • совместное распределение \(\theta_1, \dots, \theta_N\).
  11. Задача про не совсем очевидную независимость
    • Пусть \(X \sim \mathrm{U}[0; 1]\), \(X_k\) – \(k\)-ый бит двоичного представления \(X\). Показать, что \(X_k \sim \mathrm{Bern}(1/2)\) и их независимость
    • Пусть \(X = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{X_k}{2^k}\), где \(X_k \sim \mathrm{Bern}(1/2)\) и они независимы. Показать, что \(X \sim U[0; 1]\). Hint: можно показать, что функция распределения частичных сумм сходится к функции распределения равномерного закона.
  12. Случайные величины \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) независимы и равномерно распределены на \([-1; 1]\). Найти
    • \(p_{X_1 + X_2}\) – плотность суммы \(X_1 + X_2\)
    • \(p_{X_1 + X_2 + X_3}\) – плотность суммы \(X_1 + X_2 + X_3\)
  13. Случайные величины \(X_1\), \(X_2\) независимы и имеют распределенеи Коши с параметрами \(\mu_1\), \(\gamma_1\) и \(\mu_2\), \(\gamma_2\) соответсвенно. Найти \(p_{X_1 + X_2}\) – плотность суммы \(X_1 + X_2\)

Набор 7

  1. \(U \sim \mathrm{U}[0, 2\pi]\), \(X = \sin U\), \(Y = \cos U\). Найти \(\mathrm{E} X\), \(\mathrm{E} Y\), \(\mathrm{Var} X\), \(\mathrm{Var} Y\), \(\mathrm{Cov}(X, Y)\). Являются ли \(X\), \(Y\) независимыми?
  2. Студент каждый день делает долю некой задачи, причем доля равномерно распределена на \([0; 1]\). Найти ожидаемое количество дней на всю задачу. Hint: Здесь резонно воспользоваться альтернативным подходом для вычисления математического ожидания целочисленной неотрицательной случайной величины (см блок 4, задачу 4)
  3. По маршруту ходят \(N\) автобусов без кондуктора. В каждом автобусе имеется имеется валидатор, который может прочитать карточку всего \(r\) раз. Всего эти автобусы перевезли \(n\) пассажиров. Найти математическое ожидание числа \(X\) пассажиров, которым не удалось оплатить проезд, предполагая, что каждый пассажир независимо от остальных может сесть в любой из автобусов с вероятностью \(1/N\). Hint: линейность мат. ожидания
  4. На бесконечный лист клетчатой бумаги (сторона клеточки равняется единице) случайно бросается круг единичного радиуса. Считая, что центр круга равномерно распределен на том единичном квадрате, на который он попал, найти математическое ожидание числа \(U\) точек с целочисленными координатами, покрытых этим кругом.
  5. Дана последовательность \((X_n)_{n = 1}^{\infty}\) независимых случайных величин, равномерно распределённых на [0; 1]. Положим \(S_n = \sum_{i = 2}^n |X_{i - 1} - X_i|\). Найти \(\mathrm{E} S_n\) и \(\mathrm{Var} S_n\).
  6. Случайный вектор \(X\) – гауссовский. Показать, что распределение линейной комбинации его компонент либо гауссовская величина, либо вырожденная (в том числе по этой причине некоторые авторы вырожденную случайную величину считают частным случаем гауссовской)
  7. Пусть \(X\), \(Y\) – невырожденные бернуллиевские величины и известно, что \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\). Показать, что они независимы
  8. Пусть \(S_n \sim \mathrm{Poly}(n, p)\), \(p = (p_1,\ldots,p_m)^T\). Найти \(\mathrm{E} S_n = (\mathrm{E}S_{n, 1}, \ldots, \mathrm{E}S_{n, m})^T\) – вектор математических ожиданий и \(\mathrm{Var} S_n = (\mathrm{Cov}(S_{n, i}, S_{n, j}))_{1 \leqslant i, j \leqslant m}\) – матрица ковариаций.
  9. Случайные величины \(X_1, \ldots, X_N\) независимы и распределены по Пуассону с параметром \(\lambda > 0\). Найти:
    • \(\mathrm{P}(S_k = m \vert S_N = n)\), где \(S_j = X_1 + \ldots + X_j\)
    • \(f(i) = \sum_{j} j \mathrm{P}(S_k = j \vert S_N = i) = \mathrm{E}(S_k\vert S_N = i)\) – условное математическое ожидание
  10. В схеме Бернулли с вероятностью успеха \(p\) найти математическое ожидание числа испытаний до первого появления цепочки из двух единичек подряд.
  11. В условиях предыдущей задачи найти математическое ожидание появления трех единичек подряд.
  12. Случайные величины \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) независимы и являются стандартными гауссовскими. Найти распределение случайной величины \((X_1 + X_2 X_3) / \sqrt{1 + X_3^2}\)
  13. Случайные величины \(X_k\) независимы и одинаково распределены, \(Y\) – независимая от \(X_k\) случайная величина с носителем \(\mathbb{Z}_+\). Найти математическое ожидание и дисперсию \(S_{Y}\).

Набор 8

  1. Пусть \(g\) – выпуклая вниз функция, \(X\) – случайная величина, у которой существует математическое ожидание. Докажите, что \(g(\mathrm{E}X) \leqslant \mathrm{E}g(X)\).
  2. Пусть \(1 \leqslant a < b\). Доказать \((\mathrm{E}\vert X \vert^a)^{1/a} \leqslant (\mathrm{E}\vert X \vert^b)^{1/b}\).
  3. Оцените сверху \(\vert \mathrm{E}X - \mathrm{med} X \vert\)
  4. Случайные величины \(X_1,\ldots, X_n\) попарно независимы с равномерно ограниченными дисперсиями. Доказать закон больших чисел в форме Чебышёва, то есть \(\mathrm{P}\left(\left|\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n} - \frac{\mathrm{E}X_1 + \ldots + \mathrm{E}X_n}{n}\right| \geqslant \varepsilon\right) \to 0\) при \(n \to \infty\) для любого \(\varepsilon > 0\).
  5. Пусть \(X_1,\ldots, X_n\) – независимые одинаково распределенные бернуллиевские величины с параметром \(p\). Докажите неравенства:
    • \(\mathrm{P}(\overline{X} \geqslant p + \varepsilon) \geqslant \left(\frac{p}{p + \varepsilon}\right)^{n(p + \varepsilon)}\left(\frac{1 - p}{1 - p - \varepsilon}\right)^{n(1 - p - \varepsilon)}\) и \(\mathrm{P}(\overline{X} \geqslant p + \varepsilon) \leqslant \left(\frac{p}{p - \varepsilon}\right)^{n(p - \varepsilon)}\left(\frac{1 - p}{1 - p + \varepsilon}\right)^{n(1 - p + \varepsilon)}\)(аддитивная версия)
    • \(\mathrm{P}(\overline{X} \geqslant p(1 + \delta)) \leqslant \frac{e^{np\delta}}{(1 + \delta)^{np(1 + \delta)}}\) и \(\mathrm{P}(\overline{X} \leqslant p(1 + \delta)) \leqslant \frac{e^{-np\delta}}{(1 - \delta)^{np(1 - \delta)}}\) (мультипликативная версия)
  6. Носитель случайной величины \(X\) содержится в \([a, b]\). Докажите, что \(\mathrm{E}\exp(\lambda(X - \mathrm{E}X))\leqslant \exp\left(\frac{\lambda^2 (b - a)^2}{8}\right)\)
  7. Случайные величины \(X_1,\dots, X_n\) независимы, каждая из которых принимает значения из диапазона \([a_i, b_i]\). Докажите, что для их суммы \(S_n\) справедливо неравенство \(\mathrm{P}(S_n - \mathrm{E}S_n \geqslant t) \leqslant \exp\left(\frac{2t^2}{\sum_{i = 1}^n (b_i - a_i)^2}\right)\)

Набор 9

  1. Случайная величина \(X_n\) сходится по распределению к константе. Доказать, что \(X_n\) сходится по вероятности к этой же константе.
  2. Пусть \(X_{j n}\) сходятся по вероятности к \(X_j\), \(j \in \{1, \ldots, m\}\), \(g\) – непрерывная на \(\mathbb{R}^m\). Доказать, что \(g(X_{1, n}, \ldots, X_{m, n})\) сходится по вероятности \(g(X_1, \ldots, X_m)\)
  3. Случайные величины \(X_0, \ldots, X_n\) независимы и стандартные гауссовские. Найти предел по распределению \(T_n = X_0 / \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n X_k^2}\)
  4. Случайные величины \(X_1, \ldots, X_n\) независимы, одинаково распределены с математическим ожиданием \(\mu\) и ненулевой дисперсией \(\sigma^2\). Найти предел по вероятности \(\frac{X_1 + \ldots + X_n}{X_1^2 +\ldots + X_n^2}\)
  5. Найти предел по вероятности величины \(S_*^2 = \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n(X_k - \frac{1}{n}\sum_{j = 1}^n X_j)^2\), если величины \(X_1, \ldots, X_n\) независимы и одинаково распределены (нужные моменты существуют)
  6. Случайные величины независимы \(X_1 + \ldots + X_n\) и одинаково распределены с математическим ожиданием \(\mu\) и дисперсией \(\sigma^2\). Считая \(n\) достаточно большим, оценить \(\Delta\), при котором \(\mathrm{P}(|\sum_{j = 1}^n X_j - n \mu| \leqslant \Delta) \geqslant \gamma\)
  7. Пусть \(X_n\) сходится к непрерывной случайной величине \(X\) по распределению, \(F_n, F\) – соответствующие функции распределения, \(t_n \to t \in [-\infty, +\infty]\). Доказать, что \(F_n(t_n) \to F(t)\) при \(n \to \infty\).
  8. Куда и как сходится величина \(\sqrt{n}\frac{\overline{X} - \mu}{S_*}\), где \(\mu\) – математическое ожидание, \(\overline{X}\) – усредненная сумма первых \(n\) независимых одинаково распределенных случайных величин, \(S_* = \sqrt{S_*^2}\) введено в задаче 5.
  9. Рассмотрим интеграл \(I = \int_{\mathbb{R}^3} \cos^2(x) \mathrm{ch}(y) |z|^{pi} \exp(- (5x^2 + 4y^2 + 2z^2 + 6xy + 2xz + 4yz)/ 2)dxdydz\). Предложите численный алгоритм, считающий величину \(I\).
  10. Пусть \(X_1,\ldots,X_k,\ldots\) – независимые одинаково распределенные случайные величины с конечными дисперсиями, \(S_n = X_1 +\ldots + X_n\). Найти предел \(\mathrm{P}(S_n \leqslant x)\) для любого вещественного \(x\).
  11. Дополнительно предположим, что мат. ожидание \(X_k\) равняется нулю. Исследовать предел \(\mathrm{P}(|S_n / n^a| \leqslant x)\) при \(x > 0\) и \(\alpha \in \mathbb{R}\).
  12. Кроме того, предположим что дисперсии равняются единице. Найти предел по распределению случайных величин \(\xi_n = \sqrt{n}\frac{X_1 + \ldots + X_n}{X_1^2 +\ldots + X_n^2}\) и \(\eta_n = \frac{X_1 + \ldots + X_n}{\sqrt{X_1^2 + \ldots + X_n^2}}\).

Набор 10

Характеристическая функция случайной величины \(X\) есть комплекснозначная функция вещественного аргумента \(f(t) = \mathrm{E}e^{itX}\), \(t \in \mathbb{R}\). Характеристические функции примечательны тем, что соответствие между вероятностными распределениями и хар. функциями биективно (следует из формулы обращения, по сути это вероятностная интерпретация Фурье преобразования). Кроме того, с помощью характеристических функций можно исследовать пределы распредделений: так, согласно теореме Леви о непрерывности, сходимость по распределению имеет место тогда и только тогда, когда характеристические функции сходятся (поточечно) к предельной характеристической функции.

  1. Пусть \(Y = aX + b\). Выразить характеристическую функцию для \(Y\) через характеристическую функцию для \(X\). В частности, рассмотреть случай \(Y = -X\).
  2. Как найти характеристическую функцию суммы независимых случайных величин через хар. функции каждого из слагаемых?
  3. Пусть характеристическая фукнция \(k\) раз дифференцируема в нуле. Выразить \(k\)-ый момент.
  4. Показать, что распределение симметрично в том и только в том случае, если хар. функция вещественнозначна.
  5. Показать, что носитель распределения содержится в \(\mathbb{Z}\) в том и только в том случае, если характеристическая фукнция \(2\pi\)-периодическая.
  6. Пусть характеристическая фукнция \(2\pi\)-периодическая. Выразить через характеристическую фукцию \(\mathrm{P}(X = k)\).
  7. Пусть \(X_\lambda \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\), \(Y_\lambda = \frac{X_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\). Найти предел по распределению для \(Y_\lambda\) при \(\lambda \to +\infty\). Подсказка: найти предельную функцию для характеристической функции \(Y_\lambda\) и воспользоваться теоремой Леви о непрерывности. И сначала лучше решить задачу 9
  8. Пусть \(S_n = X_1 + \ldots + X_n\) – сумма независимых случайных величин, причем \(\mathrm{P}(X_k = \pm 1) = 1/2\). Показать, что предела по распределению суммы не существует.
  9. Найти характеристическую функцию стандартного гауссовского вектора, оттуда вывести вид характеристической функции произвольного гауссовского вектора.Подсказка: характеристическая функция случайного вектора есть \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}\), \(f(t) = \mathrm{E}\exp(i\langle t, x\rangle)\), где \(\langle \cdot, \cdot\rangle\) – скалярное произведение. Рассмотреть \(f'(t)\) для одномерной стандартной гауссовской величины.
  10. Вывести формулу для \(k\)-го момента стандартной гауссовской величины.
  11. Известно, что всегда распределение линейной комбинации компонент случайного вектора является либо гауссовским, либо вырожденным. Показать, что вектор является гауссовским.