О курсе

Более-менее подробную аннотацию, в том числе и литературу, можно посмотреть в syllabus.

Условия РГР

Теория

Задачи

Набор 1

Колода из 36 карт хорошо перемешали (т.е ве возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:
- четыре туза расположены рядом,
- места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7.
На полке в случайном порядке расставлены 40 книг, среди которых находится трехтомник А.С. Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).
Из множества всех последовательностей длины $n$, состоящих из цифр 0,1,2, случайно выбирается одна. Найти вероятности событий:
- последовательность начинается с 0,
- последовательность содержит ровно $m+2$ нуля, причем 2 из них находятся на концах последовательности,
- последовательность содержит ровно $m$ единиц,
- в последовательности ровно $m_0$ нулей, $m_1$ единиц, $m_2$ двоек.
Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в большом городе
- состоит 4 разных цифр;
- имеет только одинаковые цифры;
- имеет две пары одинаковых цифр;
- имеет только три одинаковые цифры?
Случайно брошены 10 игральных костей. Найти вероятности:
- не выпало ни одной “6”;
- выпали ровно три “6”;
- выпала хотя бы одна “6”;
- выпали хотя бы две “6”.
Из карточек разрезной азбуки составлено слово “СТАТИСТИКА”. Затем из этих 10 карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово “ТАКСИ”.
Из 30 чисел $(1, 2 ,\dots, 29 , 30)$ случайно отбирается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:
- все числа нечетные,
- ровно 5 чисел делится на 3,
- 5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно одно число делится на 10.
В урне $R$ красных, $W$ белых и $B$ черных шаров. Из урны с возвращением (без возвращения) извлекаются $n$ шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет $r$ красных, $w$ белых и $b$ черных шаров.
Задача со звёздочкой. Некоторые горожане считают трамвайный, троллейбусный или автобусный билет “счастливым”, если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить “счастливый” билет.

Набор 2

Имеются $K$ урн одинакового состава: $W$ белых и $B$ черных шаров.
- Простая версия: из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
- Со звёздочкой: В конце также вытаскивают один шар, но на промежуточных шагах перекладываются $m \geqslant 2$
$X$ раз бросается игральный кубик, причем $\mathrm{P}(X = k) = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}$, где $k \in \mathbb{N}_0$, $\lambda > 0$. Найти вероятность того, что единичка выпадет $j$ раз.
$n$ студентов сдают экзамен письменный экзамен по следующей схеме: первый студент берет случайным образом один из $n$ билетов, второй – один из оставшихся $n - 1$ билетов, $j$-ый студент выбирает один из оставшихся $n - j + 1$ билетов. Среди $n$ билетов имеются $k$ хороших (они одинаковы для каждого студента). Найти вероятности:
- первый достанет хороший билет; второй достанет хороший билет; третий достанет хороший билет (можно считать, что $k \geqslant 3$).
- $j$-ый студент достанет хороший билет (отдельно рассмотреть случай $j \leqslant k$).
Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью $p$. При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью $\alpha$; кроме того, с вероятностью $\beta$ исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность $q_0$ того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность $q_1$ того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях $q_0 > q_1$?
Пусть $p_n = \alpha p^n$, $n \in \mathbb{N}$, – вероятность того, что в семье $n$ детей, $p_0 = 1 - \sum_{n = 1}^{\infty}\alpha p^n$ – вероятность того, что в семье 0 детей. Найти вероятности:
- в семье ровно $k$ мальчиков,
- в семье хотя бы 2 мальчика, если в семье есть по крайней мере 1 мальчик
Рассмотрим сеть со следующей топологией. Найти вероятность того, что передача не дойдет из начала в конец, если узлы $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ ломаются независимо с вероятностями $p_1$, $p_2$, $p_3$, $p_4$, $p_5$ соответственно.
В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает $k$ очков, $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
Сообщения, передаваемые по каналу связи, составляются из трех знаков: $A$, $B$, $C$. Из-за помех каждый знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и принимается ошибочно за любой из двух других знаков с вероятностью 0,2. Для увеличения вероятности правильного приема каждый знак передается 5 раз. За переданный знак принимается знак, который чаще всего встречается в принятой пятерке знаков. Если наиболее частых знака два, то из них выбирается равновероятно один. Найти вероятность правильного приема знака при указанном способе передачи.
Трое рабочих на своих станках производят изделия только отличного и хорошего качества, причем первый и второй из них производят изделия отличного качества с вероятностью 0,9, а третий – с вероятностью 0,8. Один из этих рабочих изготовил 8 изделий, среди которых 2 хороших. Какова вероятность, что среди следующих 8 изделий, изготовленных тем же рабочим, будут 2 хороших и 6 отличных?

Набор 3

Имеется $n$ заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна $р$. Найти ряды распределения (функцию вероятностей – pmf) числа заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали; числа использованных заготовок.
Составить ряд распределения для отношения числа очков, выпавших на двух игральных костях при их однократном бросании, если в качестве числителя выбирается большее или равное из двух полученных чисел очков.
Аппаратура содержит 2000 элементов, отказ каждого из которых не зависит от работоспособности других имеет вероятность 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

Набор 4

Функция $\mathrm{I}(cond)$ семантически эквивалента выражению $\mathrm{int}(cond)$

При каких $\alpha$ функция $p(x) = \frac{c_\alpha}{x^{\alpha}}\mathrm{I}(x \geqslant 1)$ задаёт плотность вероятностного закона? Найти $c_\alpha$, функцию распределения $F$ и число $m$, для которого $F(m) = 1/2$.
Случайная величина $X$ имеет функцию распределения $F(x) = A\cdot \mathrm{arctg}(X) + B$. Найти константы $A$, $B$, и плотность.
Пусть случайная величина $X$ имеет строго монотонную функцию распределения $F$. Пусть $Y = F(X)$. Какое распределение имеет случайная величина $Y$?
Пусть $F$ – строго монотонная функция распределения, $X \sim \mathrm{U}[0; 1]$, $Y = F^{-1}(X)$. Какое распределение имеет случайная величина $Y$?
Случайная величина $X$ имеет экспоненциальное распределение. Найти $\mathrm{P}(X > t + \tau \vert X > \tau)$.
Пусть $X \sim \mathcal{N}(5, 3^2)$, вычислить $\mathrm{P}(X \in [0, 8])$, найти такое число $a$, для которого $\mathrm{P}(X \in [5 - a, 5 + a]) = 0.725$
Из точки с координатами (0, 1) случайным образом проводится луч (считать, что угол между положительным направлением оси и лучом равномерно распределён на $[-\pi, 0]$). Найти распределение координату $X$ пересечения луча с осью абсцисс.
Найти распределение случайной величины $X^2$, если $X$ – стандартная гауссовская величина.

Набор 5

Случайная величина $X$ принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 соответственно. Найти математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Случайная величина $X$ принимает значения 0, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$ с вероятностями 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 соответственно, $Y = \cos X$. Найти математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса случайной величины $Y$ двумя способами (без и через нахождение распределения $Y$).
Случайная величина $X$ имеет плотность $p(x) = \tfrac{1}{2}\exp(-|x - 1|)$. Найти функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Случайная величина $X$ равномерно распределена на $[-1; 2]$, $Y = X^2$. Найти математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса случайной величины $Y$ двумя способами (без и через нахождение распределения $Y$).
Случайная величина $X$ имеет экспоненциальное распределение с параметром 1, $Y = e^{-X}$. Найти математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса случайной величины $Y$ двумя способами (без и через нахождение распределения $Y$).

Набор 6

Совместное распределение случайных величин $X, Y$ задается таблицей:

X\Y	0	1	3
0	0.15	0.05	0.3
-1	0	0.15	0.1
-2	0.15	0	0.1

Найти:

одномерные распределения случайных величин $X$ и $Y$
их математическое ожидание и дисперсию
ковариацию и коэффициент корреляции
$\mathrm{Cov}(X + 2Y, 2X - Y)$, $\mathrm{E}(2X + 3Y)$, $\mathrm{Var}(X + 3Y)$
Совместное распределение $X + Y$, $X\cdot Y$

Игральную кость бросают до того момента, когда впервые выпадет меньше пяти очков. Пусть $X$ – количество очков, выпавшее при последнем броске, $Y$ – количество бросков. Найти совместное распределение $X$, $Y$. Являются ли они зависимыми? Найти числовые характеристики $X$, $Y$ и коэффициент корреляции.
Случайный вектор $(X, Y)$ имеет плотность $p(x, y) = с(x + y)I((x, y) \in D)$, где $D$ – треугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (2, 0). Найти
- константу $c$ (это сделаю я)
- одномерные плотности и функции распределения для $X$ и $Y$
- $\rho_{X, Y}$ – коэффициент корреляции
- $\mathrm{Cov}(X + 2Y, X - 2Y)$, $\mathrm{D}(2X - 3Y)$ (это видимо, частично считаю я)
Ту же задачу рещить для $p(x, y) = c x y I((x, y) \in D)$, где $D$ – квадрат с вершинами (0, 1), (1, 1,), (0, 1), (0, 0). Плюс выяснить, являются ли случайные величины $X, Y$ – независимыми.
К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли кабины №1 и №2 соответственно, а третий остался ждать. Предполагая, что времена $\tau_1$, $\tau_2$, $\tau_3$ разговоров клиентов независимы и одинаково распределены с экспоненциальным законом с параметром $\lambda$, найти вероятности следующих событий:
- третий клиент попадет в кабину №1
- плотность времени ожидания третьего клиента
- третий клиент закончит разговор раньше первого или второго.
Случайные величины $X_1$, $X_2$, $X_3$ независимы, найти распределение сумм $X_1 + X_2$ и $X_1 + X_2 + X_3$, если
- $X_1$, $X_2$, $X_3$ распределены равномерно на $\{1, \ldots, n\}$,
- $X_1$, $X_2$, $X_3$ имеют отрицательное биномиальное распределение с параметрами $r \in \mathbb{N}$ и $p$.
Случайные величины $X_1$, $X_2$, $X_3$ независимы, найти распределение сумм $X_1 + X_2$ и $X_1 + X_2 + X_3$, если
- $X_1$, $X_2$, $X_3$ распределены равномерно на $[-1; 1]$,
- $X_1$, $X_2$, $X_3$ имеют гамма распределение с параметрами $\alpha, \lambda > 0$.

Набор 7

Докажите, что характеристическая функция является равномерно непрерывной на всей вещественной прямой
Найти начальные моменты всех порядков стандартной гауссовской величины. Оттуда выразить моменты всех порядков произвольной гауссовской величины
То же самое сделать для $\mathrm{U}[-1; 1]$ распределения, оттуда уже выразить начальные моменты произвольного равномерного закона.
Будем говорить, что распределение является симметричным относительно нуля (или просто симметричным), если распределения случайных величин $X$ и $-X$ совпадают. Показать, что распределение является симметричным тогда и только тогда, когда характеристическая функция является принимает только вещественные значения.
Рассмотрим $Y_n = \tfrac{X_n - n}{\sqrt{n}}$, где $X_n \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$. Найти предел по распределению случайной величины $Y_n$.
Рассмотрим случайный вектор $X = (X_1,\dots, X_n)^T$. Характеристической функцией случайного вектора $X$ называется функция $f(t) = \exp(i t^T X)$, $t \in \mathbb{R}^n$. Найти характеристическую функцию стандартного гауссовского вектора, оттуда найти характеристическую функцию произвольного гауссовского вектора.
Показать, что вектор является гауссовским тогда и только тогда, когда распределение всякой линейной комбинации его компонент является либо нормальным, либо вырожденным.
Пусть случайная величина $X$ принимает целые неотрицательные значения. Положим $\phi(z) = \mathrm{E} z^X$, $\vert z \vert\leqslant 1$ (мы в характеристической функции сделали замену $z = e^{it}$). Данная функция называется производящей. Опишите процедуру поиска моментов случайной величины и вероятностей $\mathrm{P}(X = j)$, $j \geqslant 0$.
Найти производящую функцию распределений:
- вырожденное, Бернулли
- Биномиальное
- Пуассон
- геометрическое
- отрицательное биномиальное
Рассмотрим простейшую версию модели ветвящегося процесса. Пусть в нулевой момент имеется 1 частица и она делится случайным образом в результате которого образуется 1 поколение, далее каждая частица первого поколения (если они в принипе имеются, то есть начальная частица породила хотя бы 1 потомка) делится случайным образом и получается второе поколение и т.д. Пусть $X_{i,j}$ – количество потомков $j$-ой частицы $i - 1$ поколения (будем считать, что они независимы и одинаково распределены), $S_0 = 1$, $S_n = X_{i, 1} + \ldots + X_{i, S_{n - 1}}$ – количество частиц в $n$ поколении. Найти производящую функцию количества частиц в $n$-м поколении и описать процедуру поиска вероятности вырождения (ситуация, когда не осталось ни одной частицы).

Набор 8

Методом моментов и методом максимального правдоподобия найти оценку параметра. Исследовать свойства оценки

Биномиальное распределение $\mathrm{Bin}(m, p)$ с известным $m$
Пуассон
Экспоненциальное
Сдвинутое экспоненциальное: $p(x) = \lambda^{-1}e^{-(x - c)/\lambda}\mathrm{I}(x \geqslant c)$
Лапласа

Набор 9

Проверять гипотезы через попадание/непопадание статистики критерия в критическую область и подсчёт p-value.

Монетка подброшена 4096 раз, причем орел выпал 2000 раз. Сформулировать нулевую и возможные альтернативные гипотезы.
Известно, что по всей сети среднее время между входом покупателя в магазин и оплатой товара равно 19 минутам, стандартное отклонение равно 5.5 минутам. По данным, полученным по 25 случайным покупателям данного магазина, среднее время оказалось равным 24 минутам, стандартное отклонение – 7 минутам.
- На уровне значимости 0.05 проверить предположение, что среднее время потраченное покупателем в магазине больше 19 минут.
- На уровне значимости 1 процент проверить гипотезу о том, что стандартное отклонение времени, потраченного на покупки в данном магазине, больше чем во всей сети (при предположении, что время, проведенное в магазине, согласуется с нормальным законом).
По выборке из 9 мужчин найдены средний чек и стандартное отклонение, оказавшиеся равными 1000 и 250 рублей. По выборке из 7 женщин соответствующие параметры оказались равны 1500 и 300.
- Равны ли дисперсии (провести тест, предполагая независимость и нормальность)
- Равны ли средние чеки мужчин и женщин (провести тест, предполагая независимость, нормальность и равенство дисперсий)?
Пять покупателей до получения скидочной карты совершили 7, 8, 3, 5, 4 покупок соответственно, после – 8, 10, 4, 3, 6. Верно ли, что покупатели стали чаще ходить в магазин (проверить с помощью теста, нормальность и независимость предполагается)
В среднем, по утверждению администрации супермаркета, за один час кассир обслуживает в среднем 20 покупателей. Менеджер замерял количество покупателей в течение 10 часов и получил следующие результаты: 18, 22, 19, 25, 20, 17, 21, 23, 16, 24. Предполагая количество покупателей пуассоновской случайной величиной, убедиться, что полученные данные не противоречат данным администрации.
В десятичной записи числа $\pi$ среди первых 10002 знаков цифры $0,\dots, 9$ встречаются 968, 1026, 1021, 974, 1014, 1046, 1021, 970, 948, 1014 раз соответственно. Можно ли эти цифры считать случайными?
Среди 2025 семей, имеющих двух детей, 529 семей с двумя мальчиками, 477 семей с двумя девочками и 1019 семей с разнополыми детьми. Можно ли считать, что количество мальчиков – случайная величина, распределенная по биномиальному закону?
Есть два потока абитуриентов по 300 человек в каждом. В первом потоке за вступительный экзамен 2, 3, 4, 5 получили 33, 43, 80 и 144 человека соответственно, во втором – 39, 35, 72, 154. Можно ли считать потоки однородными?