О курсе

Аннотация

Сначала мы обобщим дискретную вероятностную модель и опишем вероятностное пространство в общем случае. Далее существенную часть курса мы будем работать со случайными величинами, векторами, их распределениями и числовыми характеристиками. В заключительной части мы рассмотрим аналитические методы теории вероятности и в том числе фундаментальные теоремы – закон больших чисел и центральную предельную теорему.

Оценка

На теоретические мероприятия отводится 30 баллов, а на практические – 70 (контрольные, лабораторные, решение задач у доски, проверочные и т.д.)

Литература

Порекомендую 3 фундаментальных издания:

Боровков. Теория вероятностей.
Ширяев. Вероятность.
Феллер. Введение в теорию вероятностей и её приложения.

Условия лабораторных

Первая
- Не вошедшие задачки, но заслуживающие отдельного интереса:
  1. \(n\) супружеских пар случайно садятся за круглый стол. С какой вероятностью их можно разместить так, чтобы мужчины и женщины чередовались, но супруги не сидели рядом?
  2. С какой вероятностью достанется \(2m\)-значный счастливый билет (сумма первых \(m\) цифр равняется сумме последних \(m\) цифр), составленный из цифр \(p\)-ричной системы исчисления?

Вопросы по теории

Перечень вопросов

Задачи

Набор 1

В круге радиуса \(R\) случайно проводится хорда, причем середина хорды равномерно распределена в круге. Пусть \(\xi\) – длина хорды. Найти \(\mathrm{P}(\xi > x)\).
Решить предыдущую задачу, если направление хорды задано, а середина хорды равномерно распределена на диаметре, перпендикулярным направлению хорды.
Решить предыдущую задачу, если один конец хорды зафиксирован, второй равномерно распределен на окружности.
В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятности, что они образуют:
- треугольник,
- правильный треугольник,
- прямоугольный треугольник.
С какой вероятностью уравнение \(x^2 + \xi x + \eta = 0\) имеет два различных вещественных корня, если точка \((\xi, \eta)\) случайно бросается в единичный квадрат \([0; 1]^2\)? А с какой вероятностью ровно один корень?
Рассмотрим функцию \(f_{\xi, \eta}(x) = x^3 - 3\xi^2 x + \eta\), где точка \((\xi, \eta)\) случайно бросается в квадрат \([0; 1]^2\). С какой вероятностью уравнение \(f_{\xi, \eta}(x) = 0\) имеет ровно \(k\) различных вещественных корней?
Имеется достаточно большая разлинованная плоская поверхность, причем расстояние между линиями на поверхности равняется \(d\). На эту поверхность случайно бросается иголка длины \(2l\). Найти вероятность того, что после броска иголка пересечет какую-то линию, если:
- \(2l < d\) («простой» случай),
- \(2l \geqslant d\) (более «сложный»).
К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии \(A\) и через каждые шесть минут - автобус линии \(B\). Интервал времени между моментами прихода первого автобуса линии \(A\) и первого автобуса линии \(B\) равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что:
- первый подошедший автобус окажется автобусом линии \(A\);
- автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут.
Стержень длины \(x\) ломается на части, причем положение каждой точки излома не зависит от положения других точек излома и равновозможно по всей длине стержня. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня между точками излома будет не более \(y < x\), если точек излома:
- две;
- три.
На плоскости проведены \(n\) окружностей с общим центром \(O\); радиус \(k\)-ой окружности равняется \(k\). Случайная точка \(A\) брошена в круг, ограниченным \(n\)-ой окружностью. Пусть \(ABC\) – правильный треугольник, одной из вершин которого является \(A\), а центром – точка \(O\). Найдите вероятность, что граница треугольника пересечёт ровно \(m\) окружностей.

Набор 2

Имеются \(K\) урн одинакового состава: \(W\) белых и \(B\) черных шаров.
- Простая версия: из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
- Со звёздочкой: В конце также вытаскивают один шар, но на промежуточных шагах перекладываются \(m \geqslant 2\)
\(X\) раз бросается игральный кубик, причем \(\mathrm{P}(X = k) = \exp(-\lambda)\frac{\lambda^k}{k!}\), где \(k \in \mathbb{N}_0\), \(\lambda > 0\). Найти вероятность того, что единичка выпадет \(j\) раз.
\(n\) студентов сдают экзамен письменный экзамен по следующей схеме: первый студент берет случайным образом один из \(n\) билетов, второй – один из оставшихся \(n - 1\) билетов, \(j\)-ый студент выбирает один из оставшихся \(n - j + 1\) билетов. Среди \(n\) билетов имеются \(k\) хороших (они одинаковы для каждого студента). Найти вероятности:
- первый достанет хороший билет; второй достанет хороший билет; третий достанет хороший билет (можно считать, что \(k \geqslant 3\)).
- \(j\)-ый студент достанет хороший билет (отдельно рассмотреть случай \(j \leqslant k\)).
Половина звёздочки. Случайная точка \((X, Y)\) имеет равномерное распределение на \([0; 1]^2\) (точка \((X, Y)\) случайно бросается в \([0;1]^2\)). Положим \(A_r = \{|X - Y| \geqslant r\}\), \(B_r = \{X + Y \leqslant 3r\}\). При каких \(r\) события \(A_r\), \(B_r\) независимы?
Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью \(p\). При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью \(\alpha\); кроме того, с вероятностью \(\beta\) исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность \(q_0\) того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность \(q_1\) того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях \(q_0 > q_1\)?
Пусть \(p_n = \alpha p^n\), \(n \in \mathbb{N}\), – вероятность того, что в семье \(n\) детей, \(p_0 = 1 - \sum_{n = 1}^{\infty}\alpha p^n\) – вероятность того, что в семье 0 детей. Найти вероятности:
- в семье ровно \(k\) мальчиков,
- в семье хотя бы 2 мальчика, если в семье есть по крайней мере 1 мальчик
Рассмотрим сеть со следующей топологией. Найти вероятность того, что передача не дойдет из начала в конец, если узлы \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), \(A_4\), \(A_5\) ломаются независимо с вероятностями \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), \(p_4\), \(p_5\) соответственно.
В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает \(k\) очков, \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\).

Набор 3

Обычно случайные величины будем обозначать большими последними буквами латинского алфавита \(U\), \(W\), \(X\), \(Y\). Несколько реже – греческие буквы \(\xi\), \(\eta\), \(\nu\). Если случайная величина \(X\) имеет вероятностное распределение \(\mathrm{P}\), то будем это обозначать в виде \(X \sim \mathrm{P}\) (также используется нотация \(X \in \mathrm{P}\)).

Случайная величина \(X\) имеет гипергеометрическое распределение с параметрами \(m \in \mathbb{N}\), \(n \in \{1,\ldots, m\}\), \(k \in \{1, \ldots m\}\), где \(m\) интерпретируется как общее количество деталей в урне, \(n\) – количество «хороших» деталей, \(k\) – количество извлекаемых без возвращения деталей, \(X\) – количество «хороших» деталей среди \(k\) извлеченных деталей. Соответствующий класс распределений будем обозначать как \(\mathrm{HG}(m, n, k)\). Найти предел \(\mathrm{P}(X = j)\) при \(m \to \infty\), если \(n = n(m)\) и \(n/m \to p \in (0, 1)\).
Пусть \(X\) – количество неудач до первого успеха в независимых испытаниях с вероятностью успеха \(p \in (0, 1)\). В этом случае будем говорить, что случайная величина \(X\) имеет геометрическое распределение с параметром \(p\), то есть \(X \sim \mathrm{Geom}(p)\). Найти \(\mathrm{P}(X \geqslant m + n\vert X \geqslant m)\), \(m, n \in \mathbb{N}_0\).
Случайная величина \(X\) принимает целые неотрицательные значения и известно, что \(\mathrm{P}(X \geqslant m + n\vert X \geqslant m) = \mathrm{P}(X \geqslant n)\) для всех \(m, n \in \mathbb{N}_0\). Показать, что \(X\) имеет геометрическое распределение.
Пусть \(X\) – количество неудач до успеха с номером \(r\) в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(p\). Будем говорить, что \(X\) имеет отрицательное биномиальное распределение и соответствующий класс распределений обозначать как \(\mathrm{NB}(r, p)\). Пусть \(r \to \infty\) и \(p \to 1\) так, чтобы \(\frac{(1 - p) r}{p} \to \lambda > 0\). Найти предел вероятностей.
Случайная величина \(X\) принимает целые неотрицательные значения. Чему равняется \(\sum_{k = 1}^{\infty} \mathrm{P}(X \geqslant k)\), если ряд сходится?
Случайная величина \(X\) принимает целые неотрицательные значения. Рассмотрим функцию \(f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty}p_k z^k\), где \(p_k = \mathrm{P}(X = k)\), \(|z| \leqslant 1\).
- Найти функцию \(f(\cdot)\) для распределений:
  - вырожденное, Бернулли
  - Биномиальное
  - Пуассон
  - геометрическое
  - отрицательное биномиальное
- Найти \(p_k\) через функцию \(f(\cdot)\), чему равняется \(f'(1)\) (если она существует)?
Найдите распределение целочисленной неотрицательной величины \(X\), если известно:
- \(X\) почти наверное положительно и \(\mathrm{P}(X = k + 1 \vert X > k) = p\), \(k \in \mathbb{N}_0\),
- \(\mathrm{P}(X = k + 1\vert X \in \{k, k + 1\}) = c < 1/2\), \(k \in \mathbb{N}_0\),
- \(\mathrm{P}(X = k + 1\vert X \in \{k, k + 1\}) = \frac{r}{k + r +1}\), \(r > 0\) \(k \in \mathbb{N}_0\).

Набор 4

Случайная величина \(X\) имеет плотность \(p(x) = c_\alpha x^{\alpha}\mathrm{1}(x \geqslant 1)\), \(c_\alpha > 0\). При каких \(\alpha\) данная функция действительно является плотностью? Найти константу \(c_\alpha\), функцию распределения случайной величины \(X\).
Пусть \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\). Найти \(\mathrm{P}(X > t + \tau\vert X>\tau)\)
Случайная величина \(X\) принимает неотрицательные значения и известно, что \(\mathrm{P}(X > t + \tau\vert X>\tau) = \mathrm{P}(X > t)\). Найти распределение случайной величины \(X\).
Случайная точка \(B\) равномерно распределена на окружности \(x^2 + (y - a)^2 = r^2\) с центром в точке \(O = (0, a)\). Пусть \(C = (\xi, 0)\) – точка пересечения прямой \(OB\) с осью абсцисс. Найти функцию распределения и плотность случайной величины \(\xi\).
Случайная величина \(X\) распределена равномерно на \([a, b]\), \(X \sim \mathrm{U}[a,b]\), то есть \(p(t) = (b - a)^{-1}\mathrm{1}(t \in [a, b])\). Найти функцию распределения и плотность случайной величины \(Y = -\ln(X - a) + \ln(b - a)\).
Будем говорить, что случайная величина \(X\) имеет экспоненциальное или показательное распределение, что будем обозначать как \(X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)\), \(\lambda > 0\), если \(p(t) = \lambda \exp(-\lambda t)\mathrm{1}(t \geqslant 0)\) – плотность \(X\). Найти фукнцию распределения и плотность случайной величины \(Y = \{X\}\), где \(\{\cdot\}\) – дробная часть числа.
Пусть \(F\) – непрерывная функция распределения случайной величины \(X\). Как распределена случайная величина \(Y = F(X)\).
Пусть \(X \sim \mathrm{U}[0; 1]\) и положим \(F^{-1}(y) = \sup\{x \in \mathbb{R}: F(x) \leqslant y\}\), \(y \in [0; 1]\), \(F\) – функция распределения (необязательно непрерывная). Показать, что \(Y = F^{-1}(X)\) имеет функцию распределения \(F\).
Пусть \(X \sim \mathrm{Cauchy}(0; 1)\), то есть \(p(x) = \pi^{-1}(1 + x^2)^{-1}\). Найти законы распределения случайных величин \(Y_1 = X^2 / (1 + X^2)\), \(Y_2 = 2X / (1 - X^2)\), \(Y_3 = 1/X\).
Случайная величина \(X\) равномерно распределена на \([0; 1]\), найти функцию распределения случайных величин \(Y_1 = 2X\mathrm{1}(X \in [0, 1/2]) + 2(1 - X)\mathrm{1}(X \in (1/2,1])\), \(Y_2 = X\mathrm{1}(X \in [0, 1/3]) -\mathrm{1}(X \in (1/3, 2/3]) - X^3\mathrm{1}(X \in (2/3,1])\), \(Y_3 = 1/4\mathrm{1}(X \in [0, 1/4]) +\mathrm{1}(X \in (1/4, 3/4]) + 1/4\mathrm{1}(X \in (3/4,1])\).
Равнобедренный треугольник образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении. Найти функцию распределения длины третьей стороны в \(\mathbb{R}^2\), \(\mathbb{R}^3\), \(\mathbb{R}^d\) (возможно, это задача со звёздочкой)
Функция распределения случайной величины имеет следующую структуру:
- на промежутке \((-\infty, -5)\) она имеет вид \(c_1 + c_2 e^{c_3 (x + c_4)}\)
- в точке -5 имеет скачок равный 1/2
- на промежутке [-5; 5] она линейна
- в точке 5 имеет разрыв, равный 1/6
- на промежутке \([5, +\infty]\) имеет вид \(a_1 + a_2 e^{a_3 x^2 + a_4 x + a_5}\)
Требуется найти неизвестные константы и явно выделить дискретную и абсолютно непрерывные составляющие (то есть применить теорему Лебега о разложении, заключающаяся в том, что всякая функция распределения представима единственным образом в виде выпуклой комбинации функций распределения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного законов (его нет в данной задаче) )

Набор 5

Один из двух наудачу выбранных стрелков произвел 200 независимых выстрелов и получил 116 попаданий. Вероятность попадания при каждом выстреле для первого стрелка равна 1/2, а для второго 2/3. Определить вероятность того, что стрелял первый стрелок. С помощью какой предельной теоремы разумно упростить ответ с вычислительной точки зрения (ответ получится приближенным) и как?
По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0,005. Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.
Случайно генерируются 100 пар случайных цифр. Найти приближенное значение вероятности того, что среди 100 пар 09 встретится не менее двух раз.
Найти приближенное значение вероятности того, что число «девяток» среди 10000 случайных цифр заключено между 940 и 1060. Оценить минимальное \(\Delta\), при котором количество «девяток» будет в диапазоне \([1000 - \Delta, 1000 + \Delta]\) с вероятностью 0,9.
Сколько раз достаточно подбросить «честную» монетку, чтобы доля выпавших орлов отличалась от 0.5 не более чем на 0.01 с уровнем доверия 0.99?
Случайный вектор \((X, Y)\) имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках (-1;0), (0; 1), (1; 0). Найти распределение случайной величины \((X + Y)/2\).
Пусть \(p(x, y) = c(x + y)\mathrm{1}((x , y) \in [0; 1]^2)\) – совместная плотность величин \(X\), \(Y\). Найти константу \(c\) и плотность случайной величины \(U = \max(X, Y)\).
Найти совместный закон распределения полярных радиуса \(\xi\) и угла \(\eta\) и маргинальные распределения для \(\xi\) и \(\eta\), если вектор \((X, Y)\) является стандартным гауссовским.
Случайный вектор \((X, Y)\) имеет равномерное распределение в круге \(x^2 + y^2 \leqslant 1\). Найти
- \(\mathrm{P}(\vert X \vert \leqslant 3/4, \vert Y \vert \leqslant 3/4)\).
- Совместный закон распределения полярных радиуса \(\xi\) и угла \(\eta\) и маргинальные распределения для \(\xi\) и \(\eta\).
Совместная плотность случайных величин \(X\), \(Y\) задается как \(p(x, y) = \frac{2}{(x^2 + y^2)^3}\mathrm{1}(x^2 + y^2 \geqslant 1)\). Найти плотность случайной величины \(U = \sqrt{X^2 + Y^2}\).
Найдите распределение вектора \(X / \Vert X \Vert\) для размерностей 1, 2, 3, \(n\), где \(X\) – стандартный гауссовский вектор.

Набор 6

Для независимых случайных величин \(X_1, \ldots, X_n\) имеет место общий критерий независимости: совместная функция распределения равняется произведению одномерных тогда и только когда, если случайные величины \(X_1, \ldots, X_n\) независимы. Для дискретного и абсолютно непрерывного случая можно сформулировать отдельный критерий: для независимости случайных величин \(X_1, \ldots, X_n\) необходимо и достаточно, чтобы \(p(x_1,\ldots, x_n) = \prod_{j = 1}^n p_j(x_j)\), где \(p\) – совместная функция плотности/вероятности, \(p_j\) – функция плотности/вероятности для одномерной \(X_j\).

Случайные величины \(X_1, \ldots, X_n\) независимы и одинаково распределены с функцией распределения \(F\). Найти функцию распределения для \(\max(X_1,\ldots, X_n)\),\(\min(X_1,\ldots, X_n)\).
Пусть выполнены условия предыдущей задачи, \(p\) – плотность и \(X_{(1)} < \ldots < X_{(n)}\) – отсортированные величины по возрастанию. Найти
- совместную плотность для \((X_{(k)}, X_{(l)})\), \(k < l\)
- совместную плотность для \((X_{(1)},\ldots, X_{(n)})\)
К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клиента: первый и второй клиенты заняли кабины № 1 и № 2 соответственно, а третий остался ждать. Предполагая, что времена \(\tau_1\), \(\tau_2\), \(\tau_3\) разговоров клиентов независимы и одинаково распределены с экспоненциальным законом с параметром \(\lambda\), найти вероятности:
- третий клиент попадет в кабину № 1,
- плотность распределения времени ожидания третьего клиента,
- третий клиент закончит разговор раньше первого или второго.
Пусть \(X\), \(Y\) – независимые стандартные гауссовские величины. Найти функцию распределения и плотность случайной величины \(U = X / Y\).
В \(N\) ячеек независимо бросают частицы: для каждой частицы вероятность попадания в \(i\)-ю ячейку равняется \(p_i = 1/N\). Обозначим через \(\nu_1 < \ldots < \nu_N\) номера бросков, при которых частицы попадают в пустые ячейки; положим \(\tau_1 = \nu_1 = 1\), \(\tau_k = \nu_k - \nu_{k - 1}\) при \(k \geqslant 2\) и обозначим через \(\theta_k\) номер ячейки, в которую попадает частица при \(\nu_k\) бросании. Найти:
- совместное и одномерные распределения величин \(\tau_2\), \(\tau_3\);
- совместное и одномерные распределения величин \(\tau_2, \dots, \tau_N\) (являются ли эти величины независимыми?);
- совместное распределение \(\theta_1, \dots, \theta_N\).
Задача про не совсем очевидную независимость
- Пусть \(X \sim \mathrm{U}[0; 1]\), \(X_k\) – \(k\)-ый бит двоичного представления \(X\). Показать, что \(X_k \sim \mathrm{Bern}(1/2)\) и их независимость
- Пусть \(X = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{X_k}{2^k}\), где \(X_k \sim \mathrm{Bern}(1/2)\) и они независимы. Показать, что \(X \sim U[0; 1]\). Hint: можно показать, что функция распределения частичных сумм сходится к функции распределения равномерного закона.
Случайные величины \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) независимы и равномерно распределены на \([-1; 1]\). Найти
- \(p_{X_1 + X_2}\) – плотность суммы \(X_1 + X_2\)
- \(p_{X_1 + X_2 + X_3}\) – плотность суммы \(X_1 + X_2 + X_3\)
Случайные величины \(X_1\), \(X_2\) независимы и имеют распределение Коши с параметрами \(\mu_1\), \(\gamma_1\) и \(\mu_2\), \(\gamma_2\) соответственно. Найти \(p_{X_1 + X_2}\) – плотность суммы \(X_1 + X_2\)

Набор 7

Ковариацией называется величина \(\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)(Y - \mathrm{E}Y)\), а \(\rho = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}X \cdot \mathrm{Var} Y}}\) – коэффициент корреляции

\(U \sim \mathrm{U}[0, 2\pi]\), \(X = \sin U\), \(Y = \cos U\). Найти \(\mathrm{E} X\), \(\mathrm{E} Y\), \(\mathrm{Var} X\), \(\mathrm{Var} Y\), \(\mathrm{Cov}(X, Y)\). Являются ли \(X\), \(Y\) независимыми?
Студент каждый день делает долю некой задачи, причем доля равномерно распределена на \([0; 1]\). Найти ожидаемое количество дней на всю задачу. Hint: Здесь резонно воспользоваться альтернативным подходом для вычисления математического ожидания целочисленной неотрицательной случайной величины
По маршруту ходят \(N\) автобусов без кондуктора. В каждом автобусе имеется имеется валидатор, который может прочитать карточку всего \(r\) раз. Всего эти автобусы перевезли \(n\) пассажиров. Найти математическое ожидание числа \(X\) пассажиров, которым не удалось оплатить проезд, предполагая, что каждый пассажир независимо от остальных может сесть в любой из автобусов с вероятностью \(1/N\).
На бесконечный лист клетчатой бумаги (сторона клеточки равняется единице) случайно бросается круг единичного радиуса. Считая, что центр круга равномерно распределен на том единичном квадрате, на который он попал, найти математическое ожидание числа \(U\) точек с целочисленными координатами, покрытых этим кругом.
Дана последовательность \((X_n)_{n = 1}^{\infty}\) независимых случайных величин, равномерно распределённых на [0; 1]. Положим \(S_n = \sum_{i = 2}^n |X_{i - 1} - X_i|\). Найти \(\mathrm{E} S_n\) и \(\mathrm{Var} S_n\).
Пусть \(X\), \(Y\) – невырожденные бернуллиевские величины и известно, что \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\). Показать, что они независимы.
Пусть \(S_n \sim \mathrm{Poly}(n, p)\), \(p = (p_1,\ldots,p_m)^T\). Найти \(\mathrm{E} S_n = (\mathrm{E}S_{n, 1}, \ldots, \mathrm{E}S_{n, m})^T\) – вектор математических ожиданий и \(\mathrm{Var} S_n = (\mathrm{Cov}(S_{n, i}, S_{n, j}))_{1 \leqslant i, j \leqslant m}\) – матрица ковариаций.
Написаны \(n\) писем, предназначенных разным адресатам. Имеется \(n\) конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты. Пусть \(\xi_n\) — число писем, которые посланы тем адресатам, которым они предназначены. Найти \(\mathrm{E} \xi_n\), \(\mathrm{Var} \xi_n\)
Рассмотрим контекст и обозначения первых двух задач из предыдущего блока, причём исходное распределение равномерное на [0; 1]. Найдите:
- \(k\)-ый момент и дисперсию
- ковариацию и коэффициент корреляции, при каких условиях коэффициент корреляции будет стремиться к нулю при увеличении количества \(n\) случайных величин
Найдите для гипергеометрического закона:
- математическое ожидание
- дисперсию
Найдите \(\mathrm{E} \cos X\), \(\mathrm{Var} \sin X\) для стандартной гауссовской величины \(X\)
Случайные величины \(X\), \(Y\) равномерно распределены на [0, 1]. Докажите, что \(\mathrm{E}\vert X - Y\vert \leqslant 1/2\)
Пусть носитель случайной величины есть \([a, b]\). Укажите верхнюю границу дисперсии.
Независимые случайные величины \(X_1, \dots, X_n\) положительны и одинаково распределены с невырожденным законом. Положим \(\eta_k = \frac{X_k}{X_1 + \ldots + X_n}\). Найти \(\mathrm{E} \eta_k\), \(\rho(\eta_i, \eta_j)\), \(\rho(\eta_1 + \ldots + \eta_l, \eta_1 + \ldots + \eta_k)\).
Найдите нормирующую константу, математическое ожидание и дисперсию распределения с плотностью \(p(x) = c \int_{\mathbb{R}} \exp(-(t - x)^2 - x^2) dx\).