О курсе

Более-менее подробную аннотацию, в том числе и литературу, можно посмотреть в syllabus.

Условия РГР/Лаб.

Экзамен

Задачи

Набор 1

Будем считать, что \(X_1\), \(\dots\), \(X_n\) – независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения \(F\) (данную модель будем называть простейшей выборкой, а \(F\) – теоретической функцией распределения), если не сказано иное.

Кроме того, нам понадобится следующая нотация:

\(\overline{g(X)} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^ng(X_i)\),

где \(g(.)\) – некоторая функция.

Отсортированный по возрастанию массив \(X_1\), \(\dots\), \(X_n\) будем обозначать как \(X_{(1)}\), \(\dots\), \(X_{(n)}\), то есть \(X_{(1)} \leq \ldots \leq X_{(n)}\) (отсортированная последовательность называется вариационным рядом).

  1. Рассмотрим \(\overline{X}\) – выборочное среднее.
    • Найти приближенное распределение \(\overline{X}\) при достаточно больших \(n\) (что нужно потребовать, чтобы получился содержательный ответ?)
    • При следующих предположениях на \(F\) найти распределение \(\overline{X}\):
      • нормальное распределение с математическим ожиданием \(\mu\) и дисперсией \(\sigma^2\)
      • пуассоновский закон с параметром \(\lambda\)
      • экспоненциальный закон с параметром \(\lambda\)
      • распределение Коши (подсказка из следующего пункта может быть полезной)
      • равномерное распределение на \([-1, 1]\) (вспомните, с помощью каких менее очевидных объектов можно задавать вероятностное распределение)
  2. Рассмотрим \(S_*^2 = \overline{(X - \overline{X})^2}\) – выборочную дисперсию. Найти \(\mathrm{E}\ S_*^2\) и \(\mathrm{Var}\ S_*^2\).
  3. Покажите, что \(S_*^2\) является асимптотической нормальной оценкой величины \(\mathrm{Var} X\)
  4. Упражнение на вариационный ряд:
    • Найти функцию распределения для \(X_{(n)}\)
    • То же самое для \(X_{(1)}\)
    • Аналогично для \(X_{(k)}\) (ответ можно записать через regularized incomplete beta function)
    • Предположим, что существует теоретическая плотность \(p\). Найти плотность для \(X_{(k)}\)
    • Показать, что \(\sqrt{n} f(q_p) \frac{X_{(\lceil n p \rceil)} - q_p}{\sqrt{p(1 - p)}}\) сходится по распределению к стандартному гауссовскому закону, где \(q_p\) – теоретический квантиль порядка \(p\) (единственный данного порядка), \(p \in (0, 1)\), \(f(\cdot)\) – плотность, строго положительная в точке \(q_p\) и гладкая в её окрестности
    • Найти совместную плотность для \((X_{(1)}, \dots, X_{(n)})\)
    • Найти совместную плотность для \((X_{(l)}, X_{(s)})\), \(1 \leq l < s \leq n\)
    • Доказать, что \(n F(X_{(l)})\) и \(n(1 - F(X_{(n + 1 - s)}))\) сходятся по распределению к гамма-распределениям \(\Gamma(l, 1)\) и \(\Gamma(s, 1)\) соответственно, причём предельные случайные величины независимы

Набор 2

Во всех задачах требуется найти оценку методом моментов, вычислить смещение, дисперсию и MSE (или хотя бы написать формулу, по которым это считается). Какими свойствами обладают найденные оценки?

  1. Shifted exponential
  2. \(\Gamma\) (one parameter is unknown, both are unknown)
  3. Биномиальное
  4. Распределение Коши \(\mathrm{Cauchy}(x_0, 1)\) (тут нужно подумать)
  5. Распределение Парето \(\mathrm{Pareto}(x_0, \beta)\)

Набор 3

Во всех задачах требуется найти оценку методом максимального правдоподобия, вычислить смещение, дисперсию и MSE (или хотя бы написать формулу, по которым это считается). Кроме того, найдите информацию Фишера для регулярных моделей (плюс подумать как регуляроность можно показать). Какими свойствами обладают найденные оценки?

  1. Пуассон
  2. Геометрическое
  3. Равномерное на \([\theta_1, \theta_2]\)
  4. Laplace (loc is unknown, scale is given)
  5. Shifted exponential
  6. Распределение Коши
  7. Распределение Парето \(\mathrm{Pareto}(x_0, \beta)\)

Набор 4

  1. Как с помощью минимума и максимума (первая и \(n\)-ая порядковые статистики) можно построить точный доверительный интервал для равномерного закона на \([0, theta]\)?
  2. Построить асимптотический доверительный интервал для второго момента
  3. Для выборки из экспоненциального распределения (использовать стандартную для нас параметризацию) с помощью асимптотически нормальных оценок (почему и откуда они взялись? \(1 / \overline{X}\) и \(\sqrt{2 / \overline{X^2}}\) построить асимптотический доверительный интервал. Какой доверительный интервал лучше (и что можно понимать под качеством)?
  4. Та же задача для равномерного распределения на \([0,\theta]\), а оценки – \(2\overline{X}\) и \(\sqrt{3\overline{X^2}}\)

Набор 5

Проверять гипотезы через попадание/непопадание статистики критерия в критическую область и подсчёт p-value.

  1. Монетка подброшена 4096 раз, причем орел выпал 2000 раз. Сформулировать нулевую и возможные альтернативные гипотезы.
  2. Известно, что по всей сети среднее время между входом покупателя в магазин и оплатой товара равно 19 минутам, стандартное отклонение равно 5.5 минутам. По данным, полученным по 25 случайным покупателям данного магазина, среднее время оказалось равным 24 минутам, стандартное отклонение – 7 минутам.
    • На уровне значимости 0.05 проверить предположение, что среднее время потраченное покупателем в магазине больше 19 минут.
    • На уровне значимости 1 процент проверить гипотезу о том, что стандартное отклонение времени, потраченного на покупки в данном магазине, больше чем во всей сети (при предположении, что время, проведенное в магазине, согласуется с нормальным законом).
  3. По выборке из 9 мужчин найдены средний чек и стандартное отклонение, оказавшиеся равными 1000 и 250 рублей. По выборке из 7 женщин соответствующие параметры оказались равны 1500 и 300.
    • Равны ли дисперсии (провести тест, предполагая независимость и нормальность)
    • Равны ли средние чеки мужчин и женщин (провести тест, предполагая независимость, нормальность и равенство дисперсий)?
  4. Пять покупателей до получения скидочной карты совершили 7, 8, 3, 5, 4 покупок соответственно, после – 8, 10, 4, 3, 6. Верно ли, что покупатели стали чаще ходить в магазин (проверить с помощью теста, нормальность и независимость предполагается)
  5. В среднем, по утверждению администрации супермаркета, за один час кассир обслуживает в среднем 20 покупателей. Менеджер замерял количество покупателей в течение 10 часов и получил следующие результаты: 18, 22, 19, 25, 20, 17, 21, 23, 16, 24. Предполагая количество покупателей пуассоновской случайной величиной, убедиться, что полученные данные не противоречат данным администрации.
  6. Фирма-разработчик оптических сенсоров утверждает, что погрешность измерения температуры у нового устройства имеет распределение Коши с параметром масштаба 0.5. Производитель гарантирует, что медианная погрешность не превышает 0, Чтобы проверить это утверждение, лаборатория провела серию из 12 калибровочных измерений, сравнив показания датчика с эталонными значениями. Получены отклонения: −0.7, 0.4, 0.3, −0.2, −0.9, 0.8, 0.5, −0.4, 0.1, 0.6, −0.3, −0.1. Провести стат. тест.
  7. В десятичной записи числа \(\pi\) среди первых 10002 знаков цифры \(0,\dots, 9\) встречаются 968, 1026, 1021, 974, 1014, 1046, 1021, 970, 948, 1014 раз соответственно. Можно ли эти цифры считать случайными?
  8. Среди 2025 семей, имеющих двух детей, 529 семей с двумя мальчиками, 477 семей с двумя девочками и 1019 семей с разнополыми детьми. Можно ли считать, что количество мальчиков – случайная величина, распределенная по биномиальному закону?
  9. Есть два потока абитуриентов по 300 человек в каждом. В первом потоке за вступительный экзамен 2, 3, 4, 5 получили 33, 43, 80 и 144 человека соответственно, во втором – 39, 35, 72, 154. Можно ли считать потоки однородными?
  10. В предыдущей задаче сгруппировать данные по успешно сдавшим экзамен (оценка больше 2) и завалившим. Можно ли считать первый поток более сильным?
  11. 246 человек привились и не заболели х., трое привились и заболели, 473 не привились и не заболели, 69 не привились и заболели. Можно ли считать, что наличие/отсутствие вакцины и наличие/отсутствие болезни х. связаны?
  12. Тот же датасет. Можно ли считать, что наличие вакцины позволяет не заболеть?

Набор 6

  1. Пусть \(X_1, \ldots, X_n\) – выборка из нормального закона с единичной дисперсией. Рассмотрим две простые гипотезы: \(H_0: \mu = -1, H_1: \mu = 0\). Рассмотрим критерий, который принимает нулевую гипотезу, если \(\overline{X} < -n^{\gamma}\), где \(\gamma \in \mathbb{R}\) – фиксированное вещественное число. Вычислить вероятности ошибок первого и второго рода. При каких \(\gamma\) мощность критерия стремится к единице?
  2. Пусть \(X_1, \ldots, X_n\) – выборка из распределения Пуассона. Рассмотрим две простые гипотезы: \(H_0: \lambda = 1, H_1: \lambda = 3\). Критерий принимает нулевую гипотезу, если максимальный элемент выборки меньше или равен 1. Оценить минимальный размер выборки, для которого мощность критерия больше заданного числа \(\gamma\)
  3. Нулевая гипотеза заключается в том, что человек не является телепатом и с угадывает мысль на расстоянии с вероятностью 1/2. Гипотеза о наличии телепатических способностей принимается, если в 100 независимых испытаниях не менее 70 заканчиваются успехом. Чему равна вероятность признать телепатом человека без сверхъестественных способностей?
  4. Дана выборка из нормального закона с неизвестным матетическим ожиданием и фиксированной известной дисперсии. Постройте критерий отношения правдоподобия, для которого вероятность ошибки первого рода не превосходит \(\alpha_0\) и мощность критерия максимальна, если \(H_0: \mu = \mu_0, H_1: \mu = \mu_1 > \mu_0\). Hint: лемма Неймана-Пирсона
  5. Та же задача, только теперь оба параметра неизвестны (проверяются простые гипотезы на оба параметра: \(H_0: \mu = \mu_0, \sigma = \sigma_0, H_1: \mu = \mu_1, \sigma = \sigma_1\)).
  6. В следующих задачах нужно построить асимптотический критерий отношения правдоподобия с вероятностью ошибки первого рода \(\alpha\) (указываются класс распределений и значения прараметров в гипотезах):
    • экспоненциальное, \(H_0: \lambda = \lambda_0, H_1: \lambda = \lambda_1 < \lambda_0\)
    • пуассоновское, \(H_0: \lambda = \lambda_0, H_1: \lambda = \lambda_1 < \lambda_0\)
    • биномиальное с фиксированным числом испытаний, \(H_0: p = p_0, H_1: p = p_1 > p_0\)
    • геометрическое, \(H_0: p = p_0, H_1: p = p_1 > p_0\)