О курсе

Более-менее подробную аннотацию, в том числе и литературу, можно посмотреть в syllabus.

Условия РГР/Лаб/ДЗ.

Экзамен

Задачи

Набор 1

  1. Колода из 36 карт хорошо перемешали (т.е ве возможные расположения карт равновероятны). Найти вероятности событий:
    • четыре туза расположены рядом,
    • места расположения тузов образуют арифметическую прогрессию с шагом 7.
  2. На полке в случайном порядке расставлены 40 книг, среди которых находится трехтомник А.С. Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).
  3. Из множества всех последовательностей длины \(n\), состоящих из цифр 0,1,2, случайно выбирается одна. Найти вероятности событий:
    • последовательность начинается с 0,
    • последовательность содержит ровно \(m+2\) нуля, причем 2 из них находятся на концах последовательности,
    • последовательность содержит ровно \(m\) единиц,
    • в последовательности ровно \(m_0\) нулей, \(m_1\) единиц, \(m_2\) двоек.
  4. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в большом городе
    • состоит 4 разных цифр;
    • имеет только одинаковые цифры;
    • имеет две пары одинаковых цифр;
    • имеет только три одинаковые цифры?
  5. Случайно брошены 10 игральных костей. Найти вероятности:
    • не выпало ни одной “6”;
    • выпали ровно три “6”;
    • выпала хотя бы одна “6”;
    • выпали хотя бы две “6”.
  6. Из карточек разрезной азбуки составлено слово “СТАТИСТИКА”. Затем из этих 10 карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово “ТАКСИ”.
  7. Из 30 чисел \((1, 2 ,\dots, 29 , 30)\) случайно отбирается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:
    • все числа нечетные,
    • ровно 5 чисел делится на 3,
    • 5 чисел четных и 5 нечетных, причем ровно одно число делится на 10.
  8. В урне \(R\) красных, \(W\) белых и \(B\) черных шаров. Из урны с возвращением (без возвращения) извлекаются \(n\) шаров. Найти вероятность того, что в выборке будет \(r\) красных, \(w\) белых и \(b\) черных шаров.
  9. Задача со звёздочкой. Некоторые горожане считают трамвайный, троллейбусный или автобусный билет “счастливым”, если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Найти вероятность получить “счастливый” билет.
  10. Задача на ползвёздочки. (в каждый конверт по 1 открытке). Есть $n$ подписанных конвертов и открыток, причём открытки случайным образом раскладываются по конвертам. С какой вероятностью хотя бы 1 открытка попала в свой конверт?

Набор 2

  1. Параллельно оси абсцисс проведены две линии, ординаты которых равны 8 и 9,5. Определить вероятность того,что круг радиуса 2,5 не будет пересечен осью абсцисс и ни одной из двух параллельных линий, если положение центра круга равновозможно на оси ординат в интервале от 0 до 9,5.
  2. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Определить вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин до пересечения судном курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин после пересечения судном курса лодки. Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен к курсу лодки.
  3. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час,а второго — два часа.
  4. Стержень длиной 200 мм. ломается на три части, причем положение каждой точки излома не зависит от положения других точек излома и равновозможно по всей длине стержня. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня будет более 10 мм.
  5. Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной 1. Найти вероятности следующих событий:
    • расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит \(х\)
    • расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит \(х\)
    • расстояние от точки А до центра квадрата пе превосходит \(х\)
    • расстояние от точки А до фиксированной вершины квадрата не превосходит \(х\)
  6. Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной а. Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали квадрата.
  7. В круге радиуса \(R\) случайно проводится хорда, причем середина хорды равномерно распределена в круге. Пусть \(\xi\) – длина хорды. Найти \(\mathrm{P}(\xi > x)\).
  8. Решить предыдущую задачу, если направление хорды задано, а середина хорды равномерно распределена на диаметре, перпендикулярным направлению хорды.
  9. Решить предыдущую задачу, если один конец хорды зафиксирован, второй равномерно распределен на окружности.
  10. В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятности, что они образуют:
    • треугольник,
    • правильный треугольник,
    • прямоугольный треугольник.

Набор 3

  1. Среди 25 экзаменационных билетов 5 “хороших”. Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что:
    • первый студент взял “хороший” билет;
    • второй студент взял “хороший” билет;
    • оба студента взяли “хорошие” билеты;
    • решить задачу для произвольных количества экзаменационных билетов \(n\), количества “хороших” билетов \(m\) и \(j\)-го студента.
  2. Найти вероятность отсутствия тока в данной цепи, если элементы ломаются независимо с вероятностями \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), \(p_4\), \(p_5\). Схема
  3. Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных и 2 красных, два игрока поочередно извлекают по одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Если появляется красный шар, то объявляется ничья. Найти вероятности победы первого и второго игроков, ничьи.
  4. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
  5. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0.90 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0.95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.
  6. Имеется \(n\) урн одинакового состава: \(N\) белых и \(M\) черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д. Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
  7. Задача со звёздочкой Что изменится в предыдущей задаче, если на каждом шаге перекладывать по \(k\) шаров (в конце вытаскиваем также один шар)?
  8. Урна содержит один шар, про который известно, что он либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что оставшийся в урне шар - белый?
  9. Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от остальных имеет дефекты с вероятностью \(p\). При проверке в ОТК наличие дефектов обнаруживается с вероятностью \(\alpha\); кроме того, с вероятностью \(\beta\) исправный прибор при проверке может вести себя как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность \(q_0\) того, что незабракованный прибор имеет дефекты, и вероятность \(q_1\) того, что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях \(q_0>q_1\)?
  10. Василий хочет переслать сообщение Василисе, содержащее символы “-“, “+”, “|”. Во время передачи символ может исказиться, и на выходе получится один из двух других символов с вероятностью \((1 - \alpha)/2\), а с вероятностью \(\alpha\) исходный символ не искажается. Для повышения надежности каждый из символов исходного сообщения посылается в четырёх экземплярах. С какой вероятностью Василий хотел отправить “+”, если Василиса увидела последовательность “+-|+”?
  11. Некоторым студентам младших курсов (I и II) нравится ходить на встречи любителей настольных игр. Доля первокурсников среди них составляет 0.7, второкурсников – 0.3. Доля девушек среди первокурсников равняется 0.6, у второкурсников – 0.4. На одной из встреч клуба потерян студенческий билет, принадлежащий девушке. С какой вероятностью обладательница потерянного билета учится на I курсе?
  12. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:
    • не будет искажено;
    • содержит ровно 3 искажения;
    • содержит не более трех искажений?

Набор 4

  1. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9.
  2. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряды распределения случайных чисел бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого \(p_1\) а для второго – \(p_2\).
  3. Составить ряд распределения для отношения числа очков, выпавших на двух игральных костях при их однократном бросании, если в качестве числителя выбирается большее или равное из двух полученных чисел очков.
  4. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытания, если результаты испытаний — независимые события, а вероятность изделию не выдержать испытание равна 0,001. Сравнить результаты расчетов, полученных с использованием распределения Пуассона и с использованием биномиального распределения.
  5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех дефектных, если появление дефекта на изделии не зависит от качества остальных и имеет вероятность, равную 0,01.
  6. Количество опытов \(X\) – пуассоновская случайная величина с параметром \(\lambda > 0\), причём опыты независимы и в каждом из них успех случается с вероятностью \(p\) и неудача с вероятностью \(q = 1 - p\). Найдите вероятность того, что количество успешных опытов равняется \(k\).
  7. В одном из матчей на первенство мира по шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор, пока один из участников матча не набирал 6 очков (выигрыш - 1 очко, проигрыш и ничья - 0 очков). Считая участников матча одинаковыми по силе, а результаты отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что при таких правилах в момент окончания матча проигравший набирает \(k\) очков, \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\).

Набор 5

  1. Производятся 4 независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 соответственно может появиться случайное событие A. Случайная величина – количество появлений события А. Найти её распределение, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
  2. Имеется набор из четырех карточек, на каждой из которых на- писана одна из цифр 1, 2, 3, 4. Из набора наугад извлекают карточку, затем ее возвращаютобратно, после чего наудачу извлекают вторую карточку. Случайная величина – сумма чисел. Найти её распределение, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
  3. На пути автомобиля 5 светофоров, каждый из них автомобиль проезжает с вероятностью 0,6. Случайная величина – количество светофоров, которые автомобиль “проскочил”. Найти её распределение, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
  4. Группа состоит из пяти отличных, пяти хороших и десяти посредственных студентов. Вероятность правильного ответа на один вопрос экзаменационной программы равна 0,9 для отличного студента, 0,7 для хорошего студента и 0,6 для посредственного студента. Случайная величина – количество правильных ответов на два вопроса наугад выбранного билета одним случайно выбранным студентом данной группы. Найти её распределение, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
  5. Монету подбрасывают 6 раз. Случайная величина – разность количества выпавших орлов и решек. Найти её распределение, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
  6. Студент каждый день делает случайную долю от проекта. Найдите математическое ожидание количества дней, которое студент затратит на проект

Набор 6

Совместное распределение случайных величин \(X, Y\) задается таблицей:

X\Y 0 1 3
0 0.15 0.05 0.3
-1 0 0.15 0.1
-2 0.15 0 0.1

Найти:

  • одномерные распределения случайных величин \(X\) и \(Y\)
  • их математическое ожидание и дисперсию
  • ковариацию и коэффициент корреляции
  • условные вероятности \(\mathrm{P}(X = x_i\vert Y = y_j)\) и \(\mathrm{P}(Y = y_j\vert X = x_i)\)
  • условные математические ожидания \(\mathrm{E}(X\vert Y = y_j)\) и \(\mathrm{E}(Y\vert X = x_i)\)
  • \(\mathrm{Cov}(X + 2Y, 2X - Y)\), \(\mathrm{M}(2X + 3Y)\), \(\mathrm{D}(X + 3Y)\)
  • Совместное распределение \(X + Y\), \(X\cdot Y\)
  1. Игральную кость бросают до того момента, когда впервые выпадет меньше пяти очков. Пусть \(X\) – количество очков, выпавшее при последнем броске, \(Y\) – количество бросков. Найти совместное распределение \(X\), \(Y\). Являются ли они зависимыми? Найти числовые характеристики \(X\), \(Y\) и коэффициент корреляции.
  2. Дискретные целочисленные случайные величины \(X\), \(Y\) независимы. Найти \(\mathrm{P}(X + Y = k)\). В частности, решить задачу, если
    • \(X \sim \mathrm{Bern}(p)\), \(Y \sim \mathrm{Bern}(p)\)
    • \(X \sim \mathrm{Bin}(n - 1, p)\), \(Y \sim \mathrm{Bern}(p)\)
    • \(X \sim \mathrm{Geom}(p)\), \(Y \sim \mathrm{Geom}(p)\)
    • \(X \sim \mathrm{NB}(r - 1, p)\), \(Y \sim \mathrm{Geom}(p)\)

Набор 7

  1. Случайная величина \(X\) принимает значения 1, 2, 3 с вероятностями \(p\), \(p\), \(1 - 2p\). С помощью метода моментов (первого и второго) найдите оценки параметра \(p\). Найдите смещение, дисперсию каждой оценки. Сравните их с помощью MSE.
  2. Случайная величина \(X\) принимает значения 1, 2, 3 с вероятностями \(p\), \(q\), \(1 - p - q\). С помощью метода моментов найдите оценки параметров \(p\) и \(q\). Найдите для каждой оценки смещение и дисперсию.
  3. Задачу 1 решите с помощью метода максимального правдоподобия.
  4. Задачу 2 решите с помощью метода максимального правдоподобия.

Набор 8

Задачи на цепи Маркова (будет пополняться)